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»GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN

Date de la publication: : 24 Juillet, 2010

L'HYPERBOLE

Définition:

Lieu géométrique des points M du plan, ayant la différence des distances à deux

points fixes, F et F', dits foyers, constante).

I) Différentes formes de l'équation de l'hyperbole:

Equation canonique de l'hyperbole

(le repère orthonormé coincide aux axes de symétrie de l'hyperbole):

Si l'on choisit les foyers F(c;0) et F'(- c;0), c > 0

et |MF - MF'| = 2a, 0 < a < c et l'on note c² - a² = b², alors le point M(x,y) décrit

l'hyperbole, dont l'équation c'est:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-1=0.$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-1=0.

Observation: si b = a, on obtient l'équation de l'hyperbole équilatère: x² - y² = a².

Equations paramétriques de l'hyperbole:

$\begin{cases}{x}=\frac{a}{\cos{t}}\\{y}={b}\cdot{tgt}\end{cases},$ \begin{cases}{x}=\frac{a}{\cos{t}}\\{y}={b}\cdot{tgt}\end{cases}, ${t}\in[0;2{\pi}].$ {t}\in[0;2{\pi}].

Observations:

a) Les points A(a; 0), A'(- a; 0), sont dits les sommets de l'hyperbole, Ox l'axe

transverse, Oy l'axe non-transverse;

b) Le rapport (positif et supérieur à l'unité) ε = c / a est apellé l'excentricité de

l'hyperbole; on démontre que le rapport entre les distances d'un point quelconque M de

l'ellipse au foyer et à une droite fixe, dite directrice, est constant et égal à

l'excentricité:

MF / MD = MF' / MD' = ε,

où D et D' sont les projections du point M aux directrices, qui correspondent

aux foyers, d'équations

x = a² / c (pour F) et x = - (a² / c) (pour F');

II) Equations des tangentes à l'hyperbole:

En un point T(x0;y0) de l'hyperbole:

$\frac{x\cdot{x}_{\circ}}{a^2} -\frac{y\cdot{y}_{\circ}}{b^2} -1 =0$ \frac{x\cdot{x}_{\circ}}{a^2} -\frac{y\cdot{y}_{\circ}}{b^2} -1 =0

(équation obtenue par "dédoublement").

De direction donnée:

$y=mx\pm{\sqrt{{a^2}{m^2}-{b^2}}},$ y=mx\pm{\sqrt{{a^2}{m^2}-{b^2}}},

à condition que

${m}\in{(- \infty; - \frac{b}{a})}\cup{(\frac{b}{a}; +\infty)},$ {m}\in{(- \infty; - \frac{b}{a})}\cup{(\frac{b}{a}; +\infty)},

où m représente la pente de la direction donnée; pour m = + (b/a) ou - (b/a), on

obtient les deux asymptotes de l'hyperbole, d'équations:

${y} =\pm{\frac{b}{a}}\cdot{x}.$ {y} =\pm{\frac{b}{a}}\cdot{x}.

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