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»GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN

Date de la publication: : 24 Juillet, 2010

L'ELLIPSE

Définition:

Lieu géométrique des points M du plan, ayant la somme des distances à deux points

fixes, F et F', dits foyers, constante et plus grande que la distance entre les foyers.

I) Différentes formes de l'équation de l'ellipse:

Equation canonique de l'ellipse (le repère orthonormé coincide aux de symétrie de

l'ellipse): Si l'on choisit les foyers F(c; 0) et F'(- c; 0), c > 0 et MF + MF' = 2a, a > c

et l'on note a² - c² = b², alors le point M(x;y) décrit l'ellipse d'équation:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0.$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0.

Equations paramétriques de l'ellipse:

$\begin{cases}{x} = {a}\cdot\cos{t}\\{y} = {b}\cdot\sin{t}\end{cases},$ \begin{cases}{x} = {a}\cdot\cos{t}\\{y} = {b}\cdot\sin{t}\end{cases}, ${t}\in[0;2{\pi}].$ {t}\in[0;2{\pi}].

Observations:

a) Les points A(a; 0), A'(- a; 0), B(0; b) et B'(0; - b) sont dits les sommets de

l'ellipse;

b) Le rapport (positif et inférieur à l'unité) ε = c/a est apellé l'excentricité de

l'ellipse; on démontre que le rapport entre les distances d'un point quelconque M de

l'ellipse au foyer et à une droite fixe, dite directrice est constant et égal à

l'excentricité:

MF / MD = MF' / MD' = ε,

où D et D' sont les projections du point M aux directrices qui correspondent aux deux

foyers, d'équations

x = a² / c (pour F) et x = - (a² / c) (pour F');

c) Si a = b = R, l'ellipse devient le cercle d'équation x² + y² - R² = 0 et puisque,

dans ce cas c = 0, on en déduit que l'excentricité du cercle c'est 0.

II) Equations des tangentes à l'ellipse:

En un point T(x0;y0) de l'ellipse:

$\frac{x\cdot{x}_{\circ}}{a^2} +\frac{y\cdot{y}_{\circ}}{b^2} -1 = 0$ \frac{x\cdot{x}_{\circ}}{a^2} +\frac{y\cdot{y}_{\circ}}{b^2} -1 = 0

(équation obtenue par "dédoublement").

De direction donnée:

${y=mx\pm{\sqrt{{a^2}{m^2}+b^2}}},$ {y=mx\pm{\sqrt{{a^2}{m^2}+b^2}}},

où m représente la pente de la direction donnée.

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