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»GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN

Date de la publication: : 24 Juillet, 2010

LE CERCLE

Définition:

Lieu géométrique des points du plan, situés à la meme distance par rapport à un

point fixe, dit centre.

I) Différentes formes de l'équation du cercle:

Equation du cercle ayant pour centre l'origine des axes et le rayon R:

x² + y² - R² = 0.

Equation du cercle ayant pour centre le point Q(a,b) et le rayon R:

(x - a)² + (y - b)² - R² = 0.

Equation générale du cercle:

x² + y² + 2Ax + 2By + C = 0.

Les coordonnées du centre sont - A et - B, tandis que le rayon a la longueur

$\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}-C},$ \sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}-C},

à condition évidente A² + B² - C > 0.

Equations paramétriques du cercle ayant pour centre l'origine des axes et le rayon R:

$\begin{cases}{x} = {R}\cdot\cos{t}\\{y} = {R}\cdot\sin{t}\end{cases},$ \begin{cases}{x} = {R}\cdot\cos{t}\\{y} = {R}\cdot\sin{t}\end{cases}, ${t}\in[0;2{\pi}].$ {t}\in[0;2{\pi}].

II) Equations des tangentes au cercle, donné par l'équation:

(x - a)² + (y - b)² - R² = 0:

En un point T(x0;y0) du cercle:

(x - a)(x0 - a) + (y - b)(y0 - b) - R² = 0

(équation obtenue par "dédoublement");

De direction donnée:

${y - b=m(x - a)\pm{ R\cdot\sqrt{1 + m^2}}},$ {y - b=m(x - a)\pm{ R\cdot\sqrt{1 + m^2}}},

où a et b représentent les coordonnnées du centre du cercle, et m représente la pente

de la direction donnée.

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