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»GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN

Date de la publication: : 23 Novembre, 2008

LA DROITE

I) Différentes formes de l'équation de la droite:

y = mx + n

(équation explicite de la droite); m représente la pente (la tangente de l'angle

α € [0; π/2)U(π/2; π), mesuré en le sens trigonométrique et formé par le sens positif

de l'axe Ox et la droite respective: tgα = m, tandis que n c'est l'ordonnée à l'origine

(l'ordonnée du point d'intersection de la droite à l'axe Oy).

$\frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}} = \frac{y-{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$ \frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}} = \frac{y-{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow ${y-{{y}_{1}}}={\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}}$ {y-{{y}_{1}}}={\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}} $\cdot(x-{{x}_{1}})$ \cdot(x-{{x}_{1}}) $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\left|\begin{array}{rcl}x&y&1\\{{x}_{1}}&{{y}_{1}}&1\\{{x}_{2}}&{{y}_{2}}&1\end{array}\right| = 0$ \left|\begin{array}{rcl}x&y&1\\{{x}_{1}}&{{y}_{1}}&1\\{{x}_{2}}&{{y}_{2}}&1\end{array}\right| = 0

(l'équation de la droite lorsqu'on connait deux points qui lui appartiennent).

y - yo = m·(x - xo);

(l'équation de la droite lorsqu'on connait un point et la pente).

$\begin{cases}x ={x}_{\circ}+t\cdot{{d}_{1}}\\y ={y}_{\circ}+t\cdot{{d}_{2}}\end{cases},t\in{\mathbb{R}}$ \begin{cases}x ={x}_{\circ}+t\cdot{{d}_{1}}\\y ={y}_{\circ}+t\cdot{{d}_{2}}\end{cases},t\in{\mathbb{R}}

(équations paramétriques de la droite),

lorsqu'on connait un point $M({x}_{\circ};{y}_{\circ})$ M({x}_{\circ};{y}_{\circ}) et un vecteur directeur:

$\vec{d} = {({d}_{1};{d}_{2})}$ \vec{d} = {({d}_{1};{d}_{2})} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\vec{d}={{d}_{1}\vec{i}} + {{d}_{2}\vec{j}}.$ \vec{d}={{d}_{1}\vec{i}} + {{d}_{2}\vec{j}}.

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}-1=0$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}-1=0

(équation de la droite par coupures),

où a et b représentent l'abscisse du point d'intersection à l'axe Ox, respectivement

l'ordonnée du point d'intersection à l'axe Oy, dans le cas d'une droite qui ne contient

pas l'origine des axes.

ax + by + c = 0, unde a, b, c € R, somme a² + b² non-nulle

(équation générale de la droite, ou équation implicite de la droite).

Faisceau de droites concourentes: ax + by + c + k·(a'x + b'y + c') = 0,

où k est un paramètre réel et (d): ax + by+ c = 0 et (d'): a'x + b'y + c = 0 sont

les droites de base du faisceau (concourentes).

Observation:

l'intersection des droites (d) et (d') est dit le sommet du faisceau.

Faisceau de droites parallèles: ax + by + k = 0, où a, b sont des réels fixés, à

condition que a² + b² soit différent de 0 et k un paramètre réel.

II) Positions relatives de deux droites, données par leurs équations explicites:

y = mx + n et y = m'x + n';

si les droites sont données par leurs équations générales

ax + by + c = 0 et a'x + b'y + c' = 0, où b, b' non- nuls,

alors leurs pentes sont

$m=-{\frac{a}{b}},\;m^{$ m=-{\frac{a}{b}},\;m^{'}=-{\frac{a'}{b'}},

tandis que les ordonnées à l'origine

$n=-{\frac{c}{b}},$ n=-{\frac{c}{b}}, $n^{$ n^{'}=-{\frac{c'}{b'}}:

Paralleles: m = m', et n différent de n';
Confondues: m = m' et n = n';
Concourantes: m différent de m'.

III) Angle de deux droites:

${tg}{\varphi}= |\frac{{{m}_{1}}-{{m}_{2}}}{1 + {{m}_{1}}\cdot{{m}_{2}}}|\Rightarrow{{d}_{1}}\bot{{d}_{2}}\Leftrightarrow{{m}_{1}}\cdot{{m}_{2}} = -1,$ {tg}{\varphi}= |\frac{{{m}_{1}}-{{m}_{2}}}{1 + {{m}_{1}}\cdot{{m}_{2}}}|\Rightarrow{{d}_{1}}\bot{{d}_{2}}\Leftrightarrow{{m}_{1}}\cdot{{m}_{2}} = -1,

où m1 et m2 sont les pentes des droites d1 et d2.

IV) Aire de la surface triangulaire [ABC], où A(x1 ; y1), B(x2 ; y2), C(x3 ; y3):

$Aire[ABC]={\frac{1}{2}}\cdot{|\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}|}.$ Aire[ABC]={\frac{1}{2}}\cdot{|\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}|}.