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On appelle fonction rationnelle toute fonction f:I - > R, I intervalle, où
f(x) = P(x)/Q(x), P et Q étant des fonctions polynômiale dans R[X], et Q(x)
est non-nul, quelque soit x de I.
Une fonction rationnelle s'appelle simple si elle:
- est polynômiale dans R[X];
- a la forme d'un rapport entre une constante réelle et le binôme x - a
élevé à une puissance naturelle non-nulle et x appartient à un intervalle qui
ne contient pase le nombre réel a;
- a la forme d'un rapport entre un polynôme de R[X], dont le degré est
inférieur ou égal à 1, et un polynôme du second degré, irréductible sur R[X],
élevé à une puissance naturelle non-nulle.
Dans la suite est présenté l'algorithme selon lequel le calcul des primitives
de n'mporte quelle fonction rationnelle se réduit au calcul des primitives
de quelques fonctions rationnelles simples.
DECOMPOSITION EN FONCTIONS RATIONNELLES SIMPLES
Date de la publication: : 19.04.2011Théorème:
Toute fonction rationnelle f:I -> R, où I est une intervalle, f(x) = P(x)/Q(x), peut être
écrite sous la forme d'une somme finie de fonctions rationnelles simples, de la façon
suivante:
Si la factorisation du dénominateur, dont les facteurs sont des polynômes
irréductibles, aux coefficients réels, c'est
alors:
![f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=L(x)+\sum_{k=1}^{k=p}{[\frac{A_k^1}{(x-a_k)^1}+\frac{A_k^2}{(x-a_k)^2}+\cdots+\frac{A_k^{n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}]}+](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=f%28x%29%3D%5Cfrac%7BP%28x%29%7D%7BQ%28x%29%7D%3DL%28x%29%2B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bk%3Dp%7D%7B%5B%5Cfrac%7BA_k%5E1%7D%7B%28x-a_k%29%5E1%7D%2B%5Cfrac%7BA_k%5E2%7D%7B%28x-a_k%29%5E2%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac%7BA_k%5E%7Bn_k%7D%7D%7B%28x-a_k%29%5E%7Bn_k%7D%7D%5D%7D%2B&bg=FFFFFF&fg=000000&s=0 "f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=L(x)+\sum_{k=1}^{k=p}{[\frac{A_k^1}{(x-a_k)^1}+\frac{A_k^2}{(x-a_k)^2}+\cdots+\frac{A_k^{n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}]}+")
![+\sum_{k=1}^{k=q}{[\frac{B_k^1x+C_k^1}{(x^2+b_kx+c_k)^1}+\cdots+\frac{{B_k^{m_k}}x+C_k^{m_k}}{(x^2+b_kx+c_k)^{m_k}}}],](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%2B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bk%3Dq%7D%7B%5B%5Cfrac%7BB_k%5E1x%2BC_k%5E1%7D%7B%28x%5E2%2Bb_kx%2Bc_k%29%5E1%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac%7B%7BB_k%5E%7Bm_k%7D%7Dx%2BC_k%5E%7Bm_k%7D%7D%7B%28x%5E2%2Bb_kx%2Bc_k%29%5E%7Bm_k%7D%7D%7D%5D%2C&bg=FFFFFF&fg=000000&s=0 "+\sum_{k=1}^{k=q}{[\frac{B_k^1x+C_k^1}{(x^2+b_kx+c_k)^1}+\cdots+\frac{{B_k^{m_k}}x+C_k^{m_k}}{(x^2+b_kx+c_k)^{m_k}}}],")
où L est une fonction polynômiale aux coefficients réels, p, q sont des nombres
naturels non-nuls et 
EXERCICE 1
Date de la publication: : 20.04.2011Support théorique:
Primitives d'une fonction rationnelle simple.
Enoncé:
Calculer les primitives de la fonction f:(0, + 00) - > R,
EXERCICE 2
Date de la publication: : 13.05.2011Support théorique:
Calcul des primitives d'une fonction rationnelle simple.
Enoncé:
Calculer les primitives de la fonction f:(- oo, 0) - > R, où la loi de la fonction c'est:
Réponse:
EXERCICE 3
Date de la publication: : 23.05.2011Support théorique:
Intégration des fonctions rationnelles, décomposition en fractions simples, polynômes aux coefficients entiers, schéma de Horner, méthode des coefficients indéterminés, résolution d'un système linéaire, propriétés des logarithmes, formules directes des primitives.
Enoncé:
Calculer l'intégrale définie suivante:
Réponse:
![I=ln{\sqrt[4]{0,9}}+\frac{1}{12}.](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=I%3Dln%7B%5Csqrt%5B4%5D%7B0%2C9%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=0 "I=ln{\sqrt[4]{0,9}}+\frac{1}{12}.")
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