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»INEGALITES

EXERCICE 4

Date de la publication: : 12.05.2012

Support théorique:

Fonctions trigonométriques, identités trigonométriques, signe de la fonction du second

degré.

Enoncé:

Trouver le paramètre naturel α € [0;2π], tel que l'inégalité x² - 4xsinα + 1 > 0

soit vraie pour tout x réel.

Réponse:

α € {3;6}.

Date de la publication: : 22.11.2008

Inégalités usuelles:

${a^2 + b^2} \geq{ 2ab},\forall{a,b}\in{\mathbb{R}};$ {a^2 + b^2} \geq{ 2ab},\forall{a,b}\in{\mathbb{R}};

(égalité si et seulement si a = b)

${a^2 + b^2 + c^2}\geq{ ab + bc + ca},\forall{a,b,c}\in{\mathbb{R}};$ {a^2 + b^2 + c^2}\geq{ ab + bc + ca},\forall{a,b,c}\in{\mathbb{R}};

(égalité si et seulement si a = b = c)

$|\frac{a}{b} + \frac{b}{a}|\geq2,\forall{a,b}\in{{\mathbb{R}}^*};$ |\frac{a}{b} + \frac{b}{a}|\geq2,\forall{a,b}\in{{\mathbb{R}}^*};

(égalité si et seulement si a = b ou a = - b)

${|a|}\leq{c}\Leftrightarrow -{c}\leq{a} \leq{c},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{c} > 0.$ {|a|}\leq{c}\Leftrightarrow -{c}\leq{a} \leq{c},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{c} > 0.
${|a|}\geq{c}\Leftrightarrow {a}\in{(-\infty,-c]\cup[c,+\infty)},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{c} > 0.$ {|a|}\geq{c}\Leftrightarrow {a}\in{(-\infty,-c]\cup[c,+\infty)},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{c} > 0.
$|{x_1}+{x_2}+\cdots+{x_n}|\leq{|{x}_{1}|}+{|{x}_{2}|}+...+{|{x}_{n}|},\forall{{x}_{k}}\in{\mathbb{R}},\forall{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}};$ |{x_1}+{x_2}+\cdots+{x_n}|\leq{|{x}_{1}|}+{|{x}_{2}|}+...+{|{x}_{n}|},\forall{{x}_{k}}\in{\mathbb{R}},\forall{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}};

(égalité pour n = 1, ou xi · xj € [0, + oo) pour tous les i, j € {1, 2, ..., n}).

${|acosx+bsinx|}\le{\sqrt{a^2+b^2}},\;\forall{a,b,x}\in{\mathbb{R}}.$ {|acosx+bsinx|}\le{\sqrt{a^2+b^2}},\;\forall{a,b,x}\in{\mathbb{R}}.
${2}^{n}>{n},\forall{n}\in{\mathbb{N}}.$ {2}^{n}>{n},\forall{n}\in{\mathbb{N}}.
${{\frac{2}{3}}\cdot{\frac{4}{5}}\cdot{\frac{6}{7}}\cdots{\frac{2n}{2n+1}}}<{\frac{1}{\sqrt{n+1}}},\;\forall{n}\in{\mathbb{N^*}}.$ {{\frac{2}{3}}\cdot{\frac{4}{5}}\cdot{\frac{6}{7}}\cdots{\frac{2n}{2n+1}}}<{\frac{1}{\sqrt{n+1}}},\;\forall{n}\in{\mathbb{N^*}}.
${{\frac{1}{2}}\cdot{\frac{3}{4}}\cdot{\frac{5}{6}}\cdots{\frac{2n-1}{2n}}}<{\frac{1}{\sqrt{2n+1}}},\;\forall{n}\in{\mathbb{N^*}}.$ {{\frac{1}{2}}\cdot{\frac{3}{4}}\cdot{\frac{5}{6}}\cdots{\frac{2n-1}{2n}}}<{\frac{1}{\sqrt{2n+1}}},\;\forall{n}\in{\mathbb{N^*}}.
${1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}>{ln(n+1)},\forall{n}\in{\mathbb{N^*}}.$ {1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}>{ln(n+1)},\forall{n}\in{\mathbb{N^*}}.
${e^x}\ge{x+1},\;\forall{x\in{\mathbb{R}}}.$ {e^x}\ge{x+1},\;\forall{x\in{\mathbb{R}}}.
${e^x}\ge{x+1},\;\forall{x}\in{\mathbb{R}}.$ {e^x}\ge{x+1},\;\forall{x}\in{\mathbb{R}}.
${lnx}<{x}<{e^x},\;\forall{x}\ge{1}.$ {lnx}<{x}<{e^x},\;\forall{x}\ge{1}.
${log_ab+lob_ba}>{2};\;(a>1\;et\;b>1)\;ou\;({0}<{a}<{1},\;{0}<{b}<{1});\;a\not=b.$ {log_ab+lob_ba}>{2};\;(a>1\;et\;b>1)\;ou\;({0}<{a}<{1},\;{0}<{b}<{1});\;a\not=b.