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Date de la publication: : 12 Janvier, 2009

THEORIE

Définition:

Le couple (M,*), où M est un ensemble non-vide, sur lequel on a défini une loi de

composition notée *, associative et qui est muni d'un élément neutre, s'appelle

monoide.

Si, de plus, la loi est commutative, alors le monoide s'appelle commutatif ou abélien.

Exemple: l'ensemble des matrices carées, muni de la multiplication usuelle, est un

monoide non-commutatif.

Définition:

Soit un ensemble non-vide G, muni d'une loi de composition interne, notée o .

Si:

a) La loi o est associative:

(x o y) o z = x o (y o z), pour x, y, z arbitraires de G;

b) Il existe un élément neutre e de G, tel que :

x o e = e o x = x, pour tout x de G;

c) Tous les éléments de G sont symétrisables:

pour tout x G, il existe x' de G, tel que x o x' = x' o x = e,

alors:

on dit que le couple (G,o) forme une structure de groupe.

Si, de plus, la loi est commutative, alors le couple (G,o) est dit

groupe commutatif ou abélien.

Définition:

Soit (G,o) un groupe et H un sous-ensemble non-vide de l'ensemble G; le couple(H,o)

s'appelle sous-groupe du groupe (G,o) si le couple (H,o) est un groupe. Notation:

${H}\leq{G}.$ {H}\leq{G}.

Théorème:

Un ensemble non-vide H d'un groupe G (muni d'une loi notee multiplicativement)

est un sous-groupe du groupe G, si et seulement si:

a) Quelque soit x,y de H => x o y appartient à H et

b) Ouelque soit x de H => ${x^{-1}}\in{H}.$ {x^{-1}}\in{H}.

Observation:

Les conditions a) et b) peuvent etre reformulees unitairement:

$\forall{x,y}\in{H}\Rightarrow{x\cdot{{y}^{-1}}}\in{H}.$ \forall{x,y}\in{H}\Rightarrow{x\cdot{{y}^{-1}}}\in{H}.

L'ordre d'un élément:

Etant donne un groupe (G,o), on dit que l'elément x din G a l'ordre n dans

N*, si n est le plus petit nombre natural tel que

$x^n=e,$ x^n=e, où e représente l'élément neutre du groupe. Si pour

$\forall{n\in{\mathbb{N}}^*}\Rightarrow{{x^n}\neq{e}},$ \forall{n\in{\mathbb{N}}^*}\Rightarrow{{x^n}\neq{e}},

alors on dit que l'ordre de l'élément x est infini.

Sous-groupe généré par un élément:

Soit (G,.) un groupe multiplicatif et x de G un élément arbitraire.

On vérifie aisément que le sous-ensemble noté

${<}x{>}=\begin{Bmatrix}\cdots, x^{-2}, x^{-1}, x^0=e, x^1, x^2, \cdots\end{Bmatrix},$ {<}x{>}=\begin{Bmatrix}\cdots, x^{-2}, x^{-1}, x^0=e, x^1, x^2, \cdots\end{Bmatrix},

muni de la loi du groupe G, forme un sous-groupe du groupe G, appelé le sous-groupe

cyclique généré par l'élément x.

$Donc\;{<}x{>}=\begin{Bmatrix}{x^k}|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}.$ Donc\;{<}x{>}=\begin{Bmatrix}{x^k}|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}.

Observation:

Un groupe est dit cyclique s'il est généré par un élément qui lui appartient; cet

élément s'appelle generateur du groupe.

Théorème:

Soit (G,.) un groupe multiplicatif et x dans G un élément d'ordre n. Alors l'ensemble

$latex {<}x{>}=\{e, x, x^2, x^3,\cdots, x^{n-1}\},$

muni de la loi du groupe G, est un groupe cyclique fini, d'ordre n: ord < x > = n.

Exemple: l'ensemble des racines d'ordre 10 de l'unité, muni de la multiplication

usuelle, forme un groupe cyclique, d'ordre 10, étant, simultanément, un sous-groupe

fini du groupe (C*, .).

Théorème de Lagrange:

L'ordre de chaque sous-groupe d'un groupe fini est un diviseur de l'ordre du groupe.

Corolaire 1:

Dans un groupe fini, l'ordre du chaque élément est fini et c'est un diviseur de l'ordre du

groupe.

Corolaire 2:

Soit (G,.) un groupe (multiplicatif) fini, d'ordre n.

$Alors:\;{x^n=e},\:\forall{x\in{G}}.$ Alors:\;{x^n=e},\:\forall{x\in{G}}.

Corolaire 3:

Tout groupe fini, d'ordre premier, est cyclique.

Théorème d' Euler:

$Soit\;{n\in{\mathbb{N}}},{n}\geq{2},{a}\in{\mathbb{Z}},{(a,n)}=1.\;Alors:$ Soit\;{n\in{\mathbb{N}}},{n}\geq{2},{a}\in{\mathbb{Z}},{(a,n)}=1.\;Alors:

${a^{\varphi(n)}}\equiv{{1}{(mod\:n)}},$ {a^{\varphi(n)}}\equiv{{1}{(mod\:n)}},

où φ c'est l'indicateur d'Euler.

Observation:

φ(n) = le nombre des nombres naturels plus petits que n, premiers avec n;

exemple: φ(10) = Card{1, 3, 7, 9} = 4.

Théorème de Fermat (le petit théorème de Fermat):

Soit p > 0 un nombre premier et a dans Z, a non-divisible par p. Alors:

${a^{p-1}}\equiv{{1}{(mod\:p)}}\Leftrightarrow{{a^{p}}\equiv{{a}{(mod\:p)}}}.$ {a^{p-1}}\equiv{{1}{(mod\:p)}}\Leftrightarrow{{a^{p}}\equiv{{a}{(mod\:p)}}}.