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»GEOMETRIE SYNTETIQUE DANS LE PLAN

Un sommaire passage en revue des notions géometriques fondamentales,

des théorèmes et formules pour les longueurs de segments,

mesures d'angles et arcs, congruences et ressemblances des triangles,

alignement des points et concourance des droites, relations métriques et

aires des surfaces planes:

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TRIANGLE

Date de la publication: : 09.06.2011

Cas de congruence pour les triangles quelconques:

Pour que deux triangles quelconques, ABC et A'B'C', soient congruents, il suffit qu'ils aient:

I) (AB) Ξ (A'B'), (A'C') Ξ (A'C') et mes(A) = mes(A');

II) (AB) Ξ (A'B'), mes(A) = mes(A') et mes(C) = mes(C');

III) (AB) Ξ (A'B'), mes(A) = mes(A') et mes(B) = mes(B');

IV) (AB) Ξ (A'B'), (BC) Ξ (B'C') et (CA) Ξ (C'A');

Cas de congruence pour les triangles rectangles:

Pour que deux triangles rectangles, ABC et A'B'C' (où A et A' sont les angles droits),

soient congruents, il suffit qu'ils aient:

I) (AB) Ξ (A'B') et (AC) Ξ (A'C');

II) (AB) Ξ (A'B') et mes(B) = mes(B');

II') (AB) Ξ (A'B') et mes(C) = mes(C');

III) (BC) Ξ (B'C') et mes(B) = mes(B');

III') (BC) Ξ (B'C') et mes(C) = mes(C');

IV) (AB) Ξ (A'B') et (BC) Ξ (B'C');

IV') (AC) Ξ (A'C') et (BC) Ξ (B'C');

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POLYGONES

Date de la publication: : 27.03.2011

Quadrilatères inscriptibles:

Tout quadrilatère convexe, dont les sommets peuvent être situés sur un cercle, est un

quadrilatère inscriptible.

Propriétés:

Les angles opposés d'un quadrilatère inscriptible sont suplémentaires;
Dans un quadrilatère inscriptible, tout angle extérieur est congru à l'angle intérieur opposé.
Dans un quadrilatère inscriptible, l'angle formé par une diagonale et un côté est congru à l'angle formé par l'autre diagonale et le côté opposé au premier côté et réciproquement:
Dans un quadrilatère convexe, où l'angle formé par une diagonale et un côté est congru à l'angle formé par l'autre diagonale et le côté opposé au premier côté, est inscriptible.

Inégalité de Ptolomée:

Dans tout quadrilatère convexe ABCD a lieu la relation:

${AC}\cdot{BD}\leq{AB}\cdot{CD}+{BC}\cdot{AD}.$ {AC}\cdot{BD}\leq{AB}\cdot{CD}+{BC}\cdot{AD}.

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CERCLES

Date de la publication: : 27.03.2011

Longueur du cercle:

${\mathit{l}}_{cerc}={2}{\pi}{R};$ {\mathit{l}}_{cerc}={2}{\pi}{R};

Longueur de l'arc du cercle:

${\mathit{l}}_{arc}=\frac{{\pi}{R}{n}^{\circ}}{{180}^{\circ}};$ {\mathit{l}}_{arc}=\frac{{\pi}{R}{n}^{\circ}}{{180}^{\circ}};

Aire du cercle:

${\mathcal{A}}_{cerc}=\pi{R}^{2};$ {\mathcal{A}}_{cerc}=\pi{R}^{2};

Aire du secteur circulaire:

${\mathcal{A}}_{sect}=\frac{{\pi}{R^2}{n^\circ}}{{360}^{\circ}}=\frac{{\mathit{l}_{arc}}\cdot{R}}{2}.$ {\mathcal{A}}_{sect}=\frac{{\pi}{R^2}{n^\circ}}{{360}^{\circ}}=\frac{{\mathit{l}_{arc}}\cdot{R}}{2}.

Rayon du cercle circonscrit à un triangle:

$R=\frac{abc}{4S},$ R=\frac{abc}{4S},

où a, b, c et S représentent les longueurs des côtés, respectivement l'aire du triangle.

Rayon du cercle inscrit dans un triangle:

$r=\frac{S}{p},$ r=\frac{S}{p},

où S et p représentent l'aire, respectivement le demipérimètre du triangle.

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AIRES

Date de la publication: : 27.03.2011

Aire du triangle:

$\mathcal{A}=\frac{{a}\cdot{{h}_{a}}}{2}=\frac{{b}\cdot{{h}_{b}}}{2}=\frac{{c}\cdot{{h}_{c}}}{2};$ \mathcal{A}=\frac{{a}\cdot{{h}_{a}}}{2}=\frac{{b}\cdot{{h}_{b}}}{2}=\frac{{c}\cdot{{h}_{c}}}{2};
$\mathcal{A}=\frac{{ab}\cdot{\sin{C}}}{2}=\frac{{bc}\cdot{\sin{A}}}{2}=\frac{{ca}\cdot{\sin{B}}}{2};$ \mathcal{A}=\frac{{ab}\cdot{\sin{C}}}{2}=\frac{{bc}\cdot{\sin{A}}}{2}=\frac{{ca}\cdot{\sin{B}}}{2};
$\mathcal{A}=\frac{{a^2}\sin{B}\sin{C}}{2\sin{A}}=\frac{{b^2}\sin{C}\sin{A}}{2\sin{B}}=\frac{{c^2}\sin{A}\sin{B}}{2\sin{C}};$ \mathcal{A}=\frac{{a^2}\sin{B}\sin{C}}{2\sin{A}}=\frac{{b^2}\sin{C}\sin{A}}{2\sin{B}}=\frac{{c^2}\sin{A}\sin{B}}{2\sin{C}};
$\mathcal{A}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\;ou\;p=\frac{a+b+c}{2}.$ \mathcal{A}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\;ou\;p=\frac{a+b+c}{2}.