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Quelques notions essentielles concernant les équations de la droite et du plan,

avec leurs positions relatives dans l'espace, sont très utiles, tant pour la

résolution des problèmes, que, surtout, pour la compréhension du passage de

l'espace à 1 et 2 dimensions à l'espace à 3 dimensions et, après, à n

dimensions, par la voie du calcul vectoriel.

DROITE

Date de la publication: : 18.09.2009

1) Equations de la droite déterminée par 2 points distincts, sous forme paramétrique:

$\begin{cases}x=\frac{x_1+kx_2}{1+k}\\y=\frac{y_1+ky_2}{1+k}\\z=\frac{z_1+kz_2}{1+k}\end{cases},$ \begin{cases}x=\frac{x_1+kx_2}{1+k}\\y=\frac{y_1+ky_2}{1+k}\\z=\frac{z_1+kz_2}{1+k}\end{cases},

où les 2 points sont A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), et k nombre réel différent de - 1,

représente le rapport en lequel le point courrant M(x,y) divise le segment AB:

$\frac{\overrightarrow{MA}}{\overrightarrow{MB}}=-k.$ \frac{\overrightarrow{MA}}{\overrightarrow{MB}}=-k.

Observation:

Pour k = 1 on obtient les coordonnées du milieu du segment déterminé par les deux

points.

2) Equations de la droite qui passe par un point M(a,b,c) et qui a pour vecteur directeur le vecteur

$\vec{v}=l\vec{i}+m\vec{j}+n\vec{k}:$ \vec{v}=l\vec{i}+m\vec{j}+n\vec{k}: $\frac{x-a}{l}=\frac{y-b}{m}=\frac{z-c}{n}.$ \frac{x-a}{l}=\frac{y-b}{m}=\frac{z-c}{n}.

Observations:

Les nombres l, m et n sont dits les paramètres directeurs du vecteur/droite respective.
Si un dénominateur est nul, alors le numérateur respectif l'est aussi. (Exemple: si m = 0, alors y = b, ce qui signifie que la droite d'équation

$\frac{x-a}{l}=\frac{z-c}{n}$ \frac{x-a}{l}=\frac{z-c}{n}

est située dans le plan y = b).

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PLAN

Date de la publication: : 03.03.2011

1) Equation cartésienne générale du plan:

ax + by + cz + d = 0,

où a, b, c, d sont des nombres réels et la somme a² + b² + c² est non-nulle.

2) Equation du plan par coupures:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}-1=0$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}-1=0 ,

si le plan coupe les axes de coordonnées en les points A(a,0,0), B(0,b,0) si C(0,0,c).

3) Equation du plan qui passe par 3 points non-alignées, sous la forme d'un déterminant:

$\left|\begin{array}{cccc}x&y&z&1\\x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\end{array}\right|=0.$ \left|\begin{array}{cccc}x&y&z&1\\x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\end{array}\right|=0.

Observation:

De cette équation du plan on obtient la condition d'alignement de 4 points dans

l'éspace:

$\left|\begin{array}{cccc}x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\\x_4&y_4&z_4&1\end{array}\right|=0.$ \left|\begin{array}{cccc}x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\\x_4&y_4&z_4&1\end{array}\right|=0.

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EXEMPLE-1

Date de la publication: : 01.09.2010

Support théorique:

Equation de la droite dans l'espace, équation du plan, distance d'un point à une droite dans l'espace, distance entre deux points dans l'espace, normale au plan, équations paramètriques de la droite dans l'espace.

Enoncé:

Trouver la distance du point M(1, 0, 1) à la droite

$(\delta):\;\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{1}.$ (\delta):\;\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{1}.

Réponse:

$d(M,\delta)=\frac{\sqrt{6}}{3}.$ d(M,\delta)=\frac{\sqrt{6}}{3}.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 13.01.2011

Support théorique:

Vecteur parallèle à un plan, vecteurs orthogonaux dans l'epace, système linéaire compatible simplement indéterminé, système linéaire et homogène, solution banale.

Enoncé:

Ecrire l'équation du plan qui passe par le point M(- 1, 1, - 2) et qui est parallèle aux

vecteurs

$\vec{u}=2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}\;et\;\vec{v}=-\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}.$ \vec{u}=2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}\;et\;\vec{v}=-\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}.

Réponse

2x - y - 3z - 3 = 0.

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LE ROUMAIN

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