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Date de la publication: : 27 Juillet, 2011

Support théorique:

Triangle rectangle, progression arithmétique, rayon du cercle inscrit.

Enoncé:

Dans le triangle rectangle MNP on donne les longueurs de ses côtés:

MN = ak, NP = ak +2, MP = ak+4, où an c'est le terme général d'une progression

arithmétique dont a1 = r = 5.

Calculer le rayon du cercle inscrit dans le triangle rectangle MNP.

Réponse:

r = 10.

Résolution:

A l'aide de la formule du terme général d'une progression arithmétique on a,

successivement:

ak = 5k, ak+2 =5(k+2) et ak+4 = 5(k+4).

En utilisant ensuite le théorème de Pytagore dans le triangle rectangle MNP,

on obtinem:

MN² + NP² = MP², d'où, après quelques calculs élémentaires, il en résulte l'équation

du second degrér k² - 4k - 12 = 0, ayant pour solution acceptable k = 6.

Finalement, on aura MN = 30, NP = 40 et MP = 50; compte tenu de la formule

du rayon du cercle inscrit, il résulte tout de suite r = 10.

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