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GEOMETRIE-20
Support théorique:
Fonction "min", fonction du premier degré, pente d'une droite, droites perpendiculaires, rayon et longueur du cercle circonscrit à un triangle, distance entre deux points.
Enoncé:
On donne la fonction f:R - > R, f(x) = min(ax + b, - (1/a)·x + b), où a et b sont des
nombres positifs.
Trouver la longueur L du cercle circonscrit au triangle déterminé par le graphique de la
fonction f et l'axe Ox.
Réponse:
L = π·b·(a² + 1)/a.
Résolution:
On explicite la fonction f et l'on trouve f(x) = ax + b, si x < 0, f(x) = b, si x = 0
et f(x) = - (1/a)·x + b, si x > 0.
Le triangle formé c'est ABC, où A(0;b), B(- (b/a);0) et C(ab;0),
selon la figure ci-dessous:
On constate qu'il est rectangle en A (le produit des pentes des droites AB et AC
est égal à - 1), donc [BC] c'est le diamètre du cercle circonscrit, par conséquent le
rayon de celui-ci c'est
R = BC/2 = ... = b·(a² + 1)/2a.
Il en résulte, ensuite, en utilisant la formule de la longueur du cercle, la
réponse cherchée.
Observation:
Une autre méthode, pour prouver que le triangle ABC est bien rectangle, est fondée
sur la réciproque du théorème de Pytagore (évidemment, après avoir calculé les
longueurs des côtés).
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