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Date de la publication: : 28 Novembre, 2011

GEOMETRIE-17

Support théorique:

Tétraèdre, théorème de Pytagore, théorème des 3 perpendiculaires, fonctions trigonométriques, aire de la surface triangulaire.

Enoncé:

Soit le tétraèdre [OABC], tel que les arrêtes [OA], [OB] et [OC] soient perpendiculaires

deux à deux,

$OA=a,\;OC=a\sqrt{3}.$ OA=a,\;OC=a\sqrt{3}.

On construit la demidroite $[{OX}\subset{Int(\widehat{AOB})},$ [{OX}\subset{Int(\widehat{AOB})},

ayant pour propriété

$mes({\hat{BOX}})=\frac{\pi}{6}\;et\;soit\;\{M\}=pr_{(OX)}{(A)}.$ mes({\hat{BOX}})=\frac{\pi}{6}\;et\;soit\;\{M\}=pr_{(OX)}{(A)}.

Calculer l'aire de la surface triangulaire [AMC].

Réponse:

$\mathcal{A}[AMC]=\frac{a^2\sqrt{39}}{8}.$ \mathcal{A}[AMC]=\frac{a^2\sqrt{39}}{8}.

Résolution:

Dans les triangles rectangles AOC et AOM on trouve AC = 2a, respectivement

$AM={a}\cdot{cos{\frac{\pi}{6}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$ AM={a}\cdot{cos{\frac{\pi}{6}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.

A l'aide du théorème des 3 perpendiculaires, il résulte que le triangle AMC est

rectangle (angle droit en M) et, d'ici, on obtient

$CM=\frac{{a}\sqrt{13}}{2},\;donc\;\mathcal{A}[AMC]=\cdots=\frac{{a^2}\sqrt{39}}{8}.$ CM=\frac{{a}\sqrt{13}}{2},\;donc\;\mathcal{A}[AMC]=\cdots=\frac{{a^2}\sqrt{39}}{8}.

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Amelia

grfTRhIKjE, 28.12.2011 20:57

This insight's just the way to kick life into this debtae.

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