Informations, définitions, théorèmes, formules, exercices et problèmes résolus sur les mathématiques du lycée.

»GEOMETRIE SYNTHETIQUE DANS L'ESPACE

Date de la publication: : 31 Octobre, 2011

GEOMETRIE-16

Support théorique:

Triangles, perpendiculaire à un plan, mesure d'un angle plan, mesure d'un rectiligne d'un dièdre, angle dièdre, théorème du cosinus, fonctions trigonométriques réciproques, définitions des rapports trigonométriques dans le triangle rectangle, aire de la projection.

Enoncé:

Soit le triangle équilatéral ABC et AA', BB', CC' les perpendiculaires au plan du

triangle, du même côté de celui-ci, telles que AB = AA' = (1/2)·BB' =(1/3)·CC' = a. On demande:

a) Montrer que le triangle A'B'C' est obtusangle et calculer les mesures de ses angles.

b) Calculer la mesure du rectiligne du dièdre formé par les plans (ABC) et (A'B'C').

Réponse:

a) mas(B') = π - arccos(1/4) > 90°;

$mas(\widehat{A^{$ mas(\widehat{A^{'}})=mas(\widehat{C^{'}})=arccos(\frac{\sqrt{10}}{4}).

$b)\;arccos(\frac{\sqrt{5}}{5}).$ b)\;arccos(\frac{\sqrt{5}}{5}).

Résolution:

a) En utilisant 3 triangles rectangles, on trouve aisément:

$A^{$ A^{'}B^{'}=B^{'}C^{'}=a\sqrt{2}\;si\;A^{'}C^{'}=a\sqrt{5}.

A l'aide théorème du cosinus, on calcule

$cos(\widehat{A^{$ cos(\widehat{A^{'}B^{'}C^{'}})=\cdots=-{\frac{1}{4}}.

On en déduit immédiatement que le triangle A'B'C' est obtusangle et que

mes(B') = π - arccos(1/4).

Le triangle isoscèle A'B'C', dont on connâit les longueurs de ses côtés, permet le

calcul des mesures de ses angles, compte tenu de la définition du cosinus dans le

triangle rectangle.

b) On calcule facilement les aires des surfaces triangulaires [ABC] et [A'B'C'], ensuite

on tient compte que la première surface est bien la projection de la seconde à elle même.

Posté dans GEOMETRIE SYNTHETIQUE DANS L'ESPACE

Revenir à la catégorie principale

Ajoutez un commentaire

Réponses et commentaires:

Pour instant, aucun commentaire n'a été ajouté.

LE ROUMAIN

Informations, définitions, théorèmes, formules, exercices et problèmes résolus sur les mathématiques du lycée.

GEOMETRIE-16

Réponses et commentaires:

Sélectionner ce link pour me contacter par YAHOO MESSENGER!

CATEGORIES :

Archives du blog