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Date de la publication: : 12 Mars, 2010

GEOMETRIE-13

Support théorique:

La pyramide quadrilatère régulière, l'aire d'une section parallèle à la base, le volume d'un polyèdre, la distance entre deux plans.

Enoncé:

Soit la pyramide quadrilatère régulière [VABCD], dont le côté de la base a pour

longuer a et la hauteur c'est h. On coupe la pyramide par deux plans parallèles à la

base, tels que les volumes des trois polyèdres ainsi obtenus soient égaux.

Trouver les aires des sections, ainsi que la distance entre leurs plans.

Réponse:

$\frac{{a^2}\sqrt[3]{3}}{3},\;\frac{{a^2}\sqrt[3]{12}}{3};\;{\frac{{h}\sqrt[3]{9}}{3}}\cdot{(\sqrt[3]{2}-1)}.$ \frac{{a^2}\sqrt[3]{3}}{3},\;\frac{{a^2}\sqrt[3]{12}}{3};\;{\frac{{h}\sqrt[3]{9}}{3}}\cdot{(\sqrt[3]{2}-1)}.

Résolution:

On obtient de cette façon encore deux pyramides, ou d'une autre perspective, une

pyramide et deux troncs de pyramide.

Conformément au théorème selon lequel le rapport des volumes de deux pyramides

semblables est égal au rapport des cubes de leurs hauteurs (apothèmes, côtés des

bases) on obtiendra la hauteur

$h_1=\frac{h}{\sqrt[3]{3}}$ h_1=\frac{h}{\sqrt[3]{3}}

et le côté de la base de la petite pyramide:

$a_1=\frac{a}{\sqrt[3]{3}}.$ a_1=\frac{a}{\sqrt[3]{3}}.

On en déduit l'aire de la section supérieure (la base de la petite pyramide):

${\mathcal{A}}_1={a_1}^2=\frac{a^2}{\sqrt[3]{9}}.$ {\mathcal{A}}_1={a_1}^2=\frac{a^2}{\sqrt[3]{9}}.

Il en de même pour la pyramide intermédiaire:

$h_2=h\sqrt[3]{\frac{2}{3}},$ h_2=h\sqrt[3]{\frac{2}{3}}, ${a_2}=a\sqrt[3]{\frac{2}{3}},$ {a_2}=a\sqrt[3]{\frac{2}{3}}, ${\mathcal{A}}_2={a^2}{\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}.$ {\mathcal{A}}_2={a^2}{\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}.

Finalement, la distance entre les deux plans est égale à:

$h_2-h_1=...={\frac{h}{\sqrt[3]{3}}}\cdot{(\sqrt[3]{2}-1)}={\frac{{h}\sqrt[3]{9}}{3}}\cdot{(\sqrt[3]{2}-1)}.$ h_2-h_1=...={\frac{h}{\sqrt[3]{3}}}\cdot{(\sqrt[3]{2}-1)}={\frac{{h}\sqrt[3]{9}}{3}}\cdot{(\sqrt[3]{2}-1)}.

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