Informations, définitions, théorèmes, formules, exercices et problèmes résolus sur les mathématiques du lycée.

Définitions et propriétés:

• Etant donnés deux ensembles non-vides A et B et une loi (formule, regle,

correspondence) entre les éléments des deux ensembles, notée, par exemple, par f,

qui associe à chaque élément x de A un élément unique y de B, le triplet (A,B,f)

s'appelle fonction (application) définie sur A et à valeurs dans B; notation usuelle:

f:A - > B <=> pour tout x de A il existe y de B, y unique, tel que: y = f(x).

Les ensembles A et B s'appellent le domaine, respectivement  le codomaine de la

fonction f, tandis que les éléments x et y - l'antécédent de y par la fonction f,

respectivement l'image de x par la fonction f.

Si A et B sont des ensembles de nombres réels, alors f es dite fonction numérique.

•  Les fonctions f:A - > B et f:A' - > B' sont égales si A = A', B = B' et

f(x) = g(x), pour tout x de A.

Si f:A - > B  et \bar{f} : A' - > B, où A' est une partie de A, sont deux

fonctions ayant la propriété f(x) = {\bar{f}}(x), pour tout x de A', alors

\bar{f}  s'appelle la restriction de la fonction f à l'ensemble A', et f s'appelle le

prolongement de la fonction \bar{f}  à l'ensemble A.

Etant donnée la fonction f:A - > B, on appelle l'image de la fonction f l'ensemble des

valeurs de la fonction f), l'ensemble Imf = {y de B| il existe x de A, tel que y = f(x)}.

 La fonction f:A - > B est dite surjection (fonction ou application surjective si Imf=B).  

La fonction  f:A - > B est dite injection (fonction ou application injective) si pour tout

y de B, l'équation f(x) = y, où x appartient à A, admet au plus une solution.

La fonction  f:A - > B est dite bijection (fonction ou application bijective) si pour tout

y de B, l'équation f(x) = y, dont x appartient à A admet solution unique.

Observation:

Les représentations graphiques des deux fonctions réciproques (l'une à l'autre) sont

symétriques par rapport à la première bissectrice.

Si l'on donne les fonctions  f:A - > B et  g:B - > C, alors la fonction  h:A - > C,

h(x) = g(f(x)) s'appelle la composée des fonctions g et f (dans cet ordre);

notation usuelle: h = g o f, ou (gof)(x) = g(f(x)) = h(x).

Une fonction  f:A - > B est inversible s'il existe f^{-1}: B - > A, telle que

{f}\circ{f^{-1}}=1_B

et

{f^{-1}}\circ{f}=1_A, où 1A et 1B  sont les fonctions identités des

ensembles A, respectivement B (l'application 1M:M - > M, 1M(x) = x, quelque soit x de

M, est dite la fonction identité de l'ensemble M).

On appelle le graphe d'une fonction  f:A - > B, l'ensemble

Gf = {(x,y)|x € A, y = f(x)}.

L'ensemble des points du plan rapporté à un repère orthogonal (O,x,y), dont les

coordonnées sont données par le graphe de la fonction numérique  f:A - > B,  

constitue la représentation géométrique du graphe de la fonction f.

Une fonction numérique f:A - > B est bornée s'il existe a, b dans R, tels que

{a}\leq{f(x)}\leq{b},\forall{x}\in{A}.

Une fonctione  f:R - > R s'appelle fonction linéaire, si:

1) f(x + y) = f(x) + f(y), quelque soient x, y de R (la fonction est additive)

et

2) f(kx) = kf(x), quelque soient k, x de R (la fonction est homogène).

Fonctions ayant point fixe:

Soit un ensemble A inclus dans R et la fonction  f: A - > B; on dit  que xo de A est un

point fixe de la fonction f si f(xo) = xo.

Observation:

Une fonction f peut ne pas avoir de points fixes, peut avoir un ou plusieurs points

fixes, ou même une infinité; toute fonction  f:A - > A, où A est inclus dans R, admet 

au moins un point fixe, ce que signifie que la représentation graphique de la fonction f

intersecte la première bissectrice.

Un point xo  de A s'appelle point de minimum de la fonction  f:A - > B, 

s'il existe l'intervalle (x0 - ε, x0 + ε), ε > o, tel que:

f(x)\geq{f(x_{\circ})},\forall{x}\in{({x_{\circ}}-\varepsilon,x_{\circ}+\varepsilon)}.   

Le nombre f(xo) est dit le minimum local (ou relatif) de la fonction f; le plus petit

minimum s'appelle le minimum global (absolu) de la fonction f.

Un point xo de A est dit un point de maximum de la fonction f:A - > B,

s'il existe l'intervalle (x0 - ε, x0 + ε), ε > o, tel que:

f(x)\leq{f(x_{\circ})},\forall{x}\in{({x_{\circ}}-\varepsilon,x_{\circ}+\varepsilon)}.

Le nombre f(xo) s'appelle le maximum local (relatif) de la fonction f; le plus grand

maximum s'appelle le maximum global (absolu) de la fonction f.

Observation:

Les points de maximum et de minimum s'appellent points d'extremum, tandis que les

valeurs de la fonction en les points d'extremum s'appellent les extremums de la

fonction.  

Une fonction numérique f:D - > B est strictement croissante si pour tous les x1, x2 de

D, tels que x1 < x2 = > f(x1) < f(x2) et croissante si

{f(x_1)}\geq{f(x_2)}.

Observation:

Si la fonction f:I - > R, où I est un intervalle, est dérivable sur I et

f'(x) > 0, pour tout x de I, alors f est strictement croissante sur I.

Une fonction numérique f:D - > R est strictement décroissante si quelque soient

x1, x2 de D, tels que x1 < x2 = > f(x1) > f(x2) et décroissante si

{f(x_1)}\leq{f(x_2)}.

Observation:

Si la fonction f:I - > R, où I est un intervalle, est dérivable sur I et

f'(x) < 0, pour tout x de I, alors f est strictement décroissante sur I.

Une fonction f:(- a, a) - > R est une fonction paire, si f(- x) = f(x), pour tout x de

(- a, a) et fonction impaire, si f(- x) = - f(x), pour tous les x de (- a, a).

Observation:

La représentation graphique  d'une fonction paire présente une symétrie face a l'axe

des ordonnées, tandis que la représentation graphique d'une fonction impaire présente

une symétrie par rapport a l'origine.

La droite d'équation x = a est un axe de symétrie de la représentation graphique de

la fonction f:R - > R, si f(a - ε) = f(a + ε), pour tout ε € R.

Le point S(a, b) est un centre de symétrie de la représentation

graphique de la fonction f:R - > R, si b = (f(a + ε) + f(a - ε))/2, pour tout ε € R.

Une fonction numérique f:A - > R s'appelle fonction périodique, s'il existe T > 0, tel

que pour tout x de A = > (x + T)} appartient à A et f(x + T) = f(x); le nombre T est

dit une période de la fonction f.

S'il existe Tp minimum ayant la proprieté respective, alors celui-ci est dit

la période principale de la fonction f.

Fonction convexe:

Une fonction f:I - > R, où I est un intervalle, s'appelle fonction convexe sur

l'intervalle I, si pour tous les x1, x2  de I et quelque soit t de [0;1], on a:

f((1-t){x_1}+t{x_2})\leq{(1-t)f(x_1)+tf(x_2)};  

Observation:

Si la fonction f:I - > R, où I est un intervalle, est dérivable deux fois sur I et

{f^{''}}(x)\geq{0},\forall{x}\in{I},

alors la fonction f est convexe sur l'intervalle I.

Fonction concave:

Une fonction f:I - > R, ou I est un intervalle, s'appelle fonction concave sur

l'intervalle I si si pour tous les x1, x2  de I et quelque soit t de [0;1], on a:

f((1-t){x_1}+t{x_2})\geq{(1-t)f(x_1)+tf(x_2)};

Observation:

Si la fonction f:I - > R, où I c'est un intervalle, est dérivable deux fois sur I et

</font><font size="3">{f^{''}}(x)\leq{0},\forall{x}\in{I},

alors la fonction f est concave sur l'intervalle I.

Fonctions ayant la propriété de Darboux:

Soit I inclus dans R un intervalle et f:I - > R une fonction.

On dit que la fonction f a la propriété de Darboux, si pour tous les a, b de I, a < b, et

pour tout λ situé entre f(a) et f(b), il existe un point xλ dans l'intervalle (a, b), tel que

f(xλ) = λ. 

Théorème 1:

Une fonction est inversible, si et seulement si elle est bijective.

Observation:

Si f:A - > B est inversible et {f^{-1}}:{B}\rightarrow{A}

c'est sa réciproque (son inverse), alors:

{y=f(x)}\Leftrightarrow{x={f^{-1}}(y),\;x\in{A},\;y\in{B}}.

Théorème 2:

Soit A et B deux ensembles non-vides et finis, tels que Card(A) = m et Card(B) = n ;

alors le nombre des fonctions f:A - > B (leur ensemble se note par  B^A )

est égal à

{[Card(B)]}^{Card(A)}=n^m.