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Date de la publication: : 13 Mars, 2009

THEORIE

Fonction valeur absolue:

est définie par f:R - > [0,+oo),

$f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0)}\\x,x\in{[0,+\infty)}\end{cases},$ f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0)}\\x,x\in{[0,+\infty)}\end{cases},

$ou\;f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0]}\\x,x\in{(0,+\infty)}\end{cases},$ ou\;f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0]}\\x,x\in{(0,+\infty)}\end{cases},

$ou\;f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0)}\\{0},{x=0}\\{x},{x}\in{(0,+\infty)}\end{cases}.$ ou\;f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0)}\\{0},{x=0}\\{x},{x}\in{(0,+\infty)}\end{cases}.

Propriétés:

|x| > 0 ou |x| = 0, pour tout x réel;
|x| = 0 <=> x = 0;
|x|² = 0, pour tout x réel;
|x·y| = |x|·|y|, quelques soient x et y réels => |- x| = |x|, pour tout x réel;
|x/y| = |x|/|y|, quelques soient x et y réels, y non-nul;
${|x|-|y|}\le{|{x}\pm{y}|}\le{|x|+|y|},\;\forall{x,y}\in{\mathbb{R}};$ {|x|-|y|}\le{|{x}\pm{y}|}\le{|x|+|y|},\;\forall{x,y}\in{\mathbb{R}};
|x| = a <=> x = a ou x = - a, où a > 0;
|x| = |y| <=> x = y ou x = - y;
${{|x|}\le{c}}$ {{|x|}\le{c}} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $x\in{[-c,c]},\;\forall{a}>{0};$ x\in{[-c,c]},\;\forall{a}>{0};
${|x|}>{c}$ {|x|}>{c} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow ${x}\in{{(-\infty,-c)}\cup{(c,+\infty)}},\;\forall{c}>{0}.$ {x}\in{{(-\infty,-c)}\cup{(c,+\infty)}},\;\forall{c}>{0}.

Fonction partie entière:

est définie par f:R - > Z, f(x) = [x],

où par [x] on sous-entend le plus grand entier n, tel qu'il soit plus petit ou égal à

x, c'est-à-dire:

${[x]=n}\Leftrightarrow{{n\leq{x}<{n+1},n\in{\mathbb{Z}}}}.$ {[x]=n}\Leftrightarrow{{n\leq{x}<{n+1},n\in{\mathbb{Z}}}}.

Observations:

1) Il en résulte:

$[x]\leq{x}<{[x]+1},\forall{x}\in{\mathbb{R}}$ [x]\leq{x}<{[x]+1},\forall{x}\in{\mathbb{R}} $\Rightarrow{{x-1}<{[x]}\leq{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}}}.$ \Rightarrow{{x-1}<{[x]}\leq{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}}}.

2) La loi de la fonction devient:

$f(x)={[x]}=\begin{cases}\cdots\\-k,x\in{[-k,-k+1)}\\\cdots\\-3,x\in{[-3,-2)}\\-2,x\in{[-2,-1)}\\-1,x\in{[-1,0)}\\{0},x\in{[0,1)}\\1,x\in{[1,2)}\\2,x\in{[2,3)}\\3,x\in{[3,4)}\\\cdots\\k,x\in{[k,k+1)}\\\cdots\end{cases},k\in{\mathbb{N}}.$ f(x)={[x]}=\begin{cases}\cdots\\-k,x\in{[-k,-k+1)}\\\cdots\\-3,x\in{[-3,-2)}\\-2,x\in{[-2,-1)}\\-1,x\in{[-1,0)}\\{0},x\in{[0,1)}\\1,x\in{[1,2)}\\2,x\in{[2,3)}\\3,x\in{[3,4)}\\\cdots\\k,x\in{[k,k+1)}\\\cdots\end{cases},k\in{\mathbb{N}}.

3) [x] + [x + (1/n)] + [x + (2/n)] + ... + [x + (n - 1)/n] = [nx]; n € N*,

identité de Hermite.

Propriétés:

Quel que soient les réels x et y et pour tout k entier, on a:

x = [x] < = > x € Z;
(x < y ou x = y) = > ([x] < [y] ou [x] = [y]);
([x + y] > [x] + [y]) ou ([x + y] = [x] + [y]);
[x + k] = [x] + k.

Fonction partie décimale: est définie par f:R - > [0;1), f(x) = {x}, où, par

définition, {x} = x - [x], donc:

$f(x)=\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}=\begin{cases}\cdots\\x+k,x\in[-k,-k+1)\\\cdots\\x+2,x\in{[-2,-1)}\\x+1,x\in{[-1,0)}\\x,x\in{[-1,0)}\\x,x\in{[0,1)}\\x-1,x\in{[1,2)}\\x-2,x\in{[2,3)}\\\cdots\\x-k,x\in{[k,k+1)}\\\cdots\end{cases},k\in{\mathbb{N}}.$ f(x)=\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}=\begin{cases}\cdots\\x+k,x\in[-k,-k+1)\\\cdots\\x+2,x\in{[-2,-1)}\\x+1,x\in{[-1,0)}\\x,x\in{[-1,0)}\\x,x\in{[0,1)}\\x-1,x\in{[1,2)}\\x-2,x\in{[2,3)}\\\cdots\\x-k,x\in{[k,k+1)}\\\cdots\end{cases},k\in{\mathbb{N}}.

Propriétés:

{x} = 0 < = > x € Z;
{x + k} = {x}.

Fonction signe:

est définie par f:R - > {-1,0,1},

$f(x)=sgn(x)=\begin{cases}-1,x\in{(-\infty,0)}\\{0},x=0\\1,x\in{(0,+\infty)}\end{cases}.$ f(x)=sgn(x)=\begin{cases}-1,x\in{(-\infty,0)}\\{0},x=0\\1,x\in{(0,+\infty)}\end{cases}.

De la définition on en déduit que pour tout x de R*, sgn(x) = x / |x|.

Fonction de Dirichlet:

est définie par

f:R - > {0; 1}, f(x) = $\begin{cases}1,x\in{\mathbb{Q}}\\{0},x\in{\mathbb{R}\setminus{\mathbb{Q}}}\end{cases}.$ \begin{cases}1,x\in{\mathbb{Q}}\\{0},x\in{\mathbb{R}\setminus{\mathbb{Q}}}\end{cases}.

Fonction caractéristique d'un ensemble:

Soit un ensemble M inclus dans R; on appelle fonction caractéristique de l'ensemble

M la fonction fM :R - > {0;1},

${f_{\mathcal{M}}}(x)=\begin{cases}1,x\in{\mathcal{M}}\\{0},x\in{{\mathbb{R}}\setminus{\mathcal{M}}}\end{cases}.$ {f_{\mathcal{M}}}(x)=\begin{cases}1,x\in{\mathcal{M}}\\{0},x\in{{\mathbb{R}}\setminus{\mathcal{M}}}\end{cases}.

Observations:

1) Dans le cas particulier où M = (0,+00), cette fonction s'appelle

la fonction de Heaviside, à savoir: H:R - > {0;1},

$H(x)=\begin{cases}1,x\in{(0;+\infty)}\\{0},x\in{(-\infty,0]}\end{cases}.$ H(x)=\begin{cases}1,x\in{(0;+\infty)}\\{0},x\in{(-\infty,0]}\end{cases}.

2) Les propriétés suivantes de la fonction caractéristique de l'ensemble A, à savoir

fA:M - > {0;1},

${f_A}{(x)}=\begin{cases}1,x\in{A}\\{0},x\in{\mathcal{M}\setminus{A}}\end{cases},$ {f_A}{(x)}=\begin{cases}1,x\in{A}\\{0},x\in{\mathcal{M}\setminus{A}}\end{cases},

où M est un ensemble quelconque et A une partie de celui-ci, sont très utiles dans les

problèmes concernant les ensembles:

${f_{\phi}}(x)=0,\forall{x}\in{\mathcal{M}};$ {f_{\phi}}(x)=0,\forall{x}\in{\mathcal{M}};
${f_{\mathcal{M}}}(x)=1,\forall{x}\in{\mathcal{M}};$ {f_{\mathcal{M}}}(x)=1,\forall{x}\in{\mathcal{M}};
${{f^2}_{\mathcal{M}}}(x)={f_{\mathcal{M}}}(x),\forall{x}\in{\mathcal{M}};$ {{f^2}_{\mathcal{M}}}(x)={f_{\mathcal{M}}}(x),\forall{x}\in{\mathcal{M}};
$f_{A\cap{B}}(x)={{f_A}(x)}\cdot{f_B}(x),\forall{x}\in{\mathcal{M}};$ f_{A\cap{B}}(x)={{f_A}(x)}\cdot{f_B}(x),\forall{x}\in{\mathcal{M}};
${f_{\bar{A}}}(x)=1-{f_{A}}(x),\forall{x}\in{\mathcal{M}},$ {f_{\bar{A}}}(x)=1-{f_{A}}(x),\forall{x}\in{\mathcal{M}}, $ou\;\bar{A}$ ou\;\bar{A}

signifie le complémentaire de l'ensemble A par rapport à l'ensemble M;

${f_{A\cup{B}}}(x)={f_{A}}(x)+{f_{B}}(x)-{f_{A}}(x)\cdot{f_{B}}(x),\forall{x}\in{\mathcal{M}};$ {f_{A\cup{B}}}(x)={f_{A}}(x)+{f_{B}}(x)-{f_{A}}(x)\cdot{f_{B}}(x),\forall{x}\in{\mathcal{M}};
$(A\subset{B})\Leftrightarrow{({{f_A}(x)}\leq{{f_B}(x)})},\forall{x}\in{\mathcal{M}};$ (A\subset{B})\Leftrightarrow{({{f_A}(x)}\leq{{f_B}(x)})},\forall{x}\in{\mathcal{M}};
${A=B}\Leftrightarrow{{f_A}(x)={f_B}(x)},\forall{x}\in{\mathcal{M}};$ {A=B}\Leftrightarrow{{f_A}(x)={f_B}(x)},\forall{x}\in{\mathcal{M}};
${f_{{A}\Delta{B}}}(x)={f_A}(x)+{f_B}(x)-2{{f_A}(x)}\cdot{{f_B}(x)},\forall{x}\in{\mathcal{M}},$ {f_{{A}\Delta{B}}}(x)={f_A}(x)+{f_B}(x)-2{{f_A}(x)}\cdot{{f_B}(x)},\forall{x}\in{\mathcal{M}},