Informations, définitions, théorèmes, formules, exercices et problèmes résolus sur les mathématiques du lycée. RSS/XML
Ce chapitre contient toutes les définitions, les formules et les théorèmes
nécéssaires pour maitriser pleinement l'algorithme concernant l'étude de la
variation et la représentation géométrique des graphes des fonctions.
THEORIE
Date de la publication: : 15.12.2009Définitions et propriétés:
- Etant donnés deux ensembles non-vides A et B et une loi (formule, regle,
correspondence) entre les éléments des deux ensembles, notée, par exemple, par f,
qui associe à chaque élément x de A un élément unique y de B, le triplet (A,B,f)
s'appelle fonction (application) définie sur A et à valeurs dans B; notation usuelle:
f:A - > B <=> pour tout x de A il existe y de B, y unique, tel que: y = f(x).
Les ensembles A et B s'appellent le domaine, respectivement le codomaine de la
fonction f, tandis que les éléments x et y - l'antécédent de y par la fonction f,
respectivement l'image de x par la fonction f.
Si A et B sont des ensembles de nombres réels, alors f es dite fonction numérique.
- Les fonctions f:A - > B et f:A' - > B' sont égales si A = A', B = B' et
f(x) = g(x), pour tout x de A.
Si f:A - > B et 
fonctions ayant la propriété f(x) = 
prolongement de la fonction
Etant donnée la fonction f:A - > B, on appelle l'image de la fonction f l'ensemble des
valeurs de la fonction f), l'ensemble Imf = {y de B| il existe x de A, tel que y = f(x)}.
EXEMPLE 1
Date de la publication: : 23.08.2010Support théorique:
Fonction réelle de variable réelle, fonction bijective, la réciproque d'une fonction bijective.
Enoncé:
Soit f une fonction réelle de variable réelle, bijective.
Montrer que la fonction φ:R - > R, φ(x) = a·f(x³ + b) + c, où a, b, c sont des nombres
réels et a non-nul, est bijective et déterminer sa réciproque.
Réponse:
![{\varphi}^{-1}:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\;{\varphi}^{-1}(x)=\sqrt[3]{{f^{-1}}(\frac{x-c}{a})-b}.](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%7B%5Cvarphi%7D%5E%7B-1%7D%3A%7B%5Cmathbb%7BR%7D%7D%5Crightarrow%7B%5Cmathbb%7BR%7D%7D%2C%5C%3B%7B%5Cvarphi%7D%5E%7B-1%7D%28x%29%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%7Bf%5E%7B-1%7D%7D%28%5Cfrac%7Bx-c%7D%7Ba%7D%29-b%7D.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=0 "{\varphi}^{-1}:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\;{\varphi}^{-1}(x)=\sqrt[3]{{f^{-1}}(\frac{x-c}{a})-b}.")
EXEMPLE 2
Date de la publication: : 27.10.2010Support théorique:
Fonction arcsin, fonctions composées, fonctions bijectives, dérivée de la réciproque, propriétés des fonctions dérivables.
Enoncé:
Démontrer que la fonction
![f:[1;\sqrt{2}]\rightarrow{[0;\frac{\pi}{2}]},\;f(x)=arcsin{\sqrt{2-x^2}}](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=f%3A%5B1%3B%5Csqrt%7B2%7D%5D%5Crightarrow%7B%5B0%3B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5D%7D%2C%5C%3Bf%28x%29%3Darcsin%7B%5Csqrt%7B2-x%5E2%7D%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=0 "f:[1;\sqrt{2}]\rightarrow{[0;\frac{\pi}{2}]},\;f(x)=arcsin{\sqrt{2-x^2}}")
est inversible et calculer, ensuite, de deux façons distinctes:
Réponse:
EXEMPLE 3
Date de la publication: : 24.07.2011Support théorique:
Fonctions trigonométriques, identités trigonométriques, préimage d'un réel.
Enoncé:
Déterminer l'ensemble M des préimages du nombre réel 1 par la fonction f:D - > R,
f(x) = (1 + cosx)/(sinx), où D représente le domaine maximum de définition.
Réponse:
M = {π/2 + 2kπ|k € Z}.
EXEMPLE 4
Date de la publication: : 17.09.2011Support théorique:
Cardinal d'un ensemble, fonctions numériques, fonctions injectives et strictement monotones.
Enoncé:
Calculer le cardinal de l'ensemble M de toutes les fonctions f:{1;2;3} - > {4;5;6;7},
strictement croissantes sur le domaine de définition.
Réponse:
Card(M) = 10.
CATEGORIES :
- 1. BREVIAIRE THEORIQUE pour GYMNASE.
- 2. ALGORITHMES DANS LES MATHEMATIQUES DU GYMNASE
-
3. BREVIAIRE THEORIQUE pour LYCEE.
- 3.1. ELEMENTS DE LOGIQUE MATHEMATIQUE (3)
- 3.2. ENSEMBLES NUMERIQUES (4)
- 3.3. NOMBRES REELS (6)
- 3.4. IDENTITES REMARQUABLES (4)
- 3.5. INEGALITES (4)
- 3.6. INEQUATIONS (5)
- 3.7. EQUATIONS ALGEBRIQUES (6)
- 3.8. EQUATIONS TRANSCENDANTES (5)
- 3.9. NOMBRES COMPLEXES (5)
- 3.10. PROGRESSIONS (4)
- 3.11. DENOMBREMENTS (6)
- 3.12. LOGARITHMES (6)
- 3.13. PROBABILITES (3)
- 3.14. PERMUTATIONS (4)
- 3.15. DETERMINANTS (4)
- 3.16. MATRICES (5)
- 3.17. SYSTEMES D'EQUATIONS LINEAIRES (5)
- 3.18. SYSTEMES D'EQUATIONS NON LINEAIRES (6)
- 3.19. CLASSES RESIDUELLES modulo n (4)
- 3.20. GROUPES (4)
- 3.21. ANNEAUX ET CORPS (4)
- 3.22. POLYNOMES AUX COEFFICIENTS REELS (5)
- 3.23. POLYNOMES AUX COEFFICIENTS COMPLEXES (4)
- 3.24. RELATIONS (4)
- 3.25. FONCTIONS - généralités (6)
- 3.26. FONCTIONS ELEMENTAIRES (5)
- 3.27. FONCTIONS SPECIALES (5)
- 3.28. APPLICATIONS INVERSIBLES (5)
- 3.29. LIMITES DE SUITES (4)
- 3.30. LIMITES DE FONCTIONS (4)
- 3.31. FONCTIONS CONTINUES (4)
- 3.32. FONCTIONS DERIVABLES (4)
- 3.33. PROPRIETES DES FONCTIONS DERIVABLES (4)
- 3.34. PRIMITIVES (4)
- 3.35. INTEGRALES DEFINIES (7)
- 3.36. CHANGEMENTS DE VARIABLES (6)
- 3.37. APPLICATIONS DE L'INTEGRALE DEFINIE (4)
- 3.38. VECTEURS (7)
- 3.39. TRIGONOMETRIE (6)
- 3.40. APPLICATIONS DE LA TRIGONOMETRIE DANS LA GEOMETRIE (4)
- 3.41. GEOMETRIE SYNTETIQUE DANS LE PLAN (8)
- 3.42. GEOMETRIE SYNTETIQUE DANS L'ESPACE (6)
- 3.43. GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN (12)
- 3.44. GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE (4)
- 4. ALGORITHMES DANS LES MATHEMATIQUES DU LYCEE
- 5. COMMENT ABORDER UN PROBLEME (0)
- 6. PROBLEMES DIVERS AUX RESOLUTIONS COMPLETES. (26)
- 7. RESOLUTIONS ELEMENTAIRES ET NON-ELEMENTAIRES (6)
- 8. ALGEBRE - applications
- 9. PROBABILITES - applications (10)
- 10. GEOMETRIE - applications
- 11. TRIGONOMETRIE - applications (31)
- 12. ANALYSE - applications
- 13. PROBLEMES PROPOSES DANS LES MANUELS ET AU BAC
- 14. AUDITIONS (4)
- 15. PAROLES D'ESPRIT SUR LES MATHEMATIQUES (0)
- 16. PROBLEMES DISTRAYANTS (8)
- 17. OU C'EST L'ERREUR ?