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»FONCTIONS DERIVABLES

Date de la publication: : 06 Novembre, 2008

THEORIE

Définition:

On dit que la fonction f:I -> R, est dérivable en x = a de l'intervalle I, si

$\lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ \lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

existe et est finie; si la limite n'existe pas, ou elle est infinie, la fonction n'est pas

dérivable en x = a; la limite, lorsqu'elle existe, est notée par f'(a).

Interprétation géométrique de la dérivée finie d'une fonction en un point:

La dérivée finie d'une fonction f:I - > R en un point x = a de l'intervallle I

(c'est-à-dire f'(a)) représente la pente (le coefficient directeur) de la tangente à la

représentation géométrique de cette fonction, qui passe par le point T(a,f(a));

l'équation de la tangente c'est: y - f(a) = f'(a)(x - a).

Théorème:

Toute fonction dérivable en un point est continue en ce point.

Dérivée d'une fonction composée:

Si les fonctions u:D - > E et f:E - > R, où D et E sont des intervalles de R, sont

dérivables, alors la fonction h = fou: D - > R, dite leur composée, définie par la

loi h(x) = f(u(x)), pour tout x de D, est dérivable et h'(x) = f'(u(x)) · u'(x), ou, plus

simplement, (f(u))' = f' · u'.

Dérivée de la réciproque (fonction inverse):

Soit la fonction bijective f:I - > J, ou I et J sont des intervalles et x0 de I. Si f est

derivable en x0 et f(x0) est non-nul, alors

${f}^{-1}$ {f}^{-1} est derivable en f(x0) et l'on a:

$({f}^{-1})$ ({f}^{-1})'(f({x}_{\circ})) = \frac{1}{{{f}^{'}}({x}_{\circ})}.

Opérations sur les fonctions dérivables:

$(u + v)$ (u + v)' = u' + v'.
$(uv)$ (uv)' = u'v + uv'\Rightarrow(\prod_{k=1}^{k=n}{{u_k}})' = \sum_{k=1}^{k=n}{{u_1}{u_2}\cdots{(u_k)'}\cdots{u_n}}.
${(u^v)$ {(u^v)'}={u^v}v'\ln{u}+v{u^{v-1}}u'.
${(uv)}^{(n)}=\sum_{k=0}^{k=n}{C}_{n}^{n-k}{u}^{(n-k)}{v}^{(k)};$ {(uv)}^{(n)}=\sum_{k=0}^{k=n}{C}_{n}^{n-k}{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}; $(formule\; de\; Leibniz).$ (formule\; de\; Leibniz).
$(\frac{u}{v})$ (\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2},v\neq{0}.

Dérivées usuelles:

$(\frac{1}{x})$ (\frac{1}{x})' = - \frac{1}{x^2}, x \neq{0}\Rightarrow (\frac{1}{u})'= - \frac{u'}{u^2}.
$c$ c' = 0, \forall{x}\in{\mathbb{R}}.
${x$ {x'}=1, $\forall{x}\in{\mathbb{R}}.$ \forall{x}\in{\mathbb{R}}.
${({x}^{n})$ {({x}^{n})'}={n}{x}^{n-1}, $\forall{x}\in{{\mathbb{R}}^*},$ \forall{x}\in{{\mathbb{R}}^*}, $\forall{n}\in{{\mathbb{N}}^*}$ \forall{n}\in{{\mathbb{N}}^*} $\Rightarrow{({u}^{n})$ \Rightarrow{({u}^{n})'}= {n}{u}^{n-1}{u'}.
${({x}^{\alpha})$ {({x}^{\alpha})'} = {\alpha}{x}^{\alpha-1}, $\forall{x}\in{(0,\infty)},$ \forall{x}\in{(0,\infty)}, $\forall{\alpha}\in{\mathbb{R}}$ \forall{\alpha}\in{\mathbb{R}} $\Rightarrow{({u}^{\alpha})$ \Rightarrow{({u}^{\alpha})'}= ${\alpha}{u}^{\alpha-1}{u$ {\alpha}{u}^{\alpha-1}{u'}.
$(\sqrt{x})$ (\sqrt{x})' =\frac{1}{2\sqrt{x}},\forall{x}\in{(0,\infty)}\Rightarrow{(\sqrt{u})'}=\frac{u'}{2\sqrt{u}}.
${(\sqrt[n]{x})$ {(\sqrt[n]{x})'}=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}\Rightarrow{(\sqrt[n]{u})'}=\frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}.
${(a^x)$ {(a^x)'= {a^x}\ln{a},\forall{x}\in{\mathbb{R}},\;{a}>{0},\;a\not=1}\Rightarrow{(a^u)'={a^u}\cdot{u'}\cdot{lna}}.
${(e^x)$ {(e^x)'=e^x,\forall{x}\in{\mathbb{R}}}\Rightarrow{(e^u)'={e^u}\cdot{u'}}.
${(\log_{a}{x})$ {(\log_{a}{x})'} = \frac{1}{x\ln{a}} , \forall{x}\in{(0,\infty)},0 < a\neq{1}\Rightarrow{(\log_{a}{u})'} = \frac{u'}{{u}\ln{a}}.
${(\ln{x})$ {(\ln{x})'}=\frac{1}{x},\forall{x}\in{(0,\infty)}\Rightarrow{(\ln{u})'}=\frac{u'}{u}.
$(\sin{x})$ (\sin{x})'=\cos{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}} $\Rightarrow (\sin{u})$ \Rightarrow (\sin{u})'=(\cos{u}){u'}.
${(\cos{x})$ {(\cos{x})'}=-{\sin{x}},\forall{x}\in{\mathbb{R}} $\Rightarrow (\cos{u})$ \Rightarrow (\cos{u})'=(-\sin{u})u'.
${(tgx)$ {(tgx)'}=\frac{1}{{{\cos}^{2}}{x}}=1+{{tg}^{2}}{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}(2k+1)\frac{\pi}{2}|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}} $\Rightarrow$ \Rightarrow ${(tgu)$ {(tgu)'} = \frac{u'}{{{\cos}^{2}}{u}}=(1+{{tg}^{2}}{u})u'.
${(ctgx)$ {(ctgx)'}=-{\frac{1}{{{\sin}^{2}}{x}}}={-{(1+{ctg}^{2}{x}})},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}k\pi|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}} $\Rightarrow$ \Rightarrow ${(ctgu)$ {(ctgu)'} = -\frac{u'}{{{\sin}^{2}}{u}}=-(1+{{ctg}^{2}}{u})u'.
$(\arcsin{x})$ (\arcsin{x})'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\forall{x}\in{(-1, 1)}\Rightarrow(\arcsin{u})' = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}.
$(\arccos{x})$ (\arccos{x})'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\forall{x}\in{(-1, 1)}\Rightarrow(\arccos{u})' = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}.
$(\sinh{x})$ (\sinh{x})'=(\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2})' $=\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}=\cosh{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}}$ =\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}=\cosh{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}} $\Rightarrow$ \Rightarrow $(\sinh{u})$ (\sinh{u})' $=(\frac{{e}^{u}-{e}^{-u}}{2})$ =(\frac{{e}^{u}-{e}^{-u}}{2})'=\frac{{e}^{u}+{e}^{-u}}{2}{u'}=(\cosh{u}){u'}.
$(\cosh{x})$ (\cosh{x})'=(\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2})'=\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}= $\sinh{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}}$ \sinh{x},\forall{x}\in{\mathbb{R}} $\Rightarrow$ \Rightarrow $(\cosh{u})$ (\cosh{u})'=(\frac{{e}^{u}+{e}^{-u}}{2})' $=(\frac{{e}^{u}-{e}^{-u}}{2}){u$ =(\frac{{e}^{u}-{e}^{-u}}{2}){u'}=(\sinh{u}){u'}.