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»FONCTIONS CONTINUES

Date de la publication: : 09 Novembre, 2008

THEORIE

Définitions:

Soit f:D - > R une fonction réelle d'argument réel et a dans D.

La fonction f est dite continue en le point a de D,

si pour toute suite (xn), xn dans D, convergente à a, la suite (f(xn)) est

convergente à f(a).

Le point a de D est appelé point de continuité de la fonction f, si la fonction est

continue en a.

Si la fonction f:D - > R n'est pas continue en le point x = a de D, alors elle est dite

discontinue en le point a, tandis que le point a s'appelle point de discontinuité de la

fonction f.

Si le point a de D est un point de discontinuité de la fonction f et f(a - 0) et f(a + 0)

(c'est-à-dire les limites à gauche et à droite en a) existent et sont finies, a s'appelle

point de discontinuité de première espèce de la fonction f; on appelle points de

discontinuité de seconde espèce tous les autres points de discontinuités.

Prolongement par continuité d'une fonction:

Soit f:(D\{a}) - > R une fonction réelle de variable réelle, où a est un point

d'accumulation de l'ensemble D (c'est-à-dire: dans n'importe quel voisinage de a

il-y-a, au moins, un élément de D, différent de a).

Si la fonction f a une limite finie en a et

$\lim_{{x}\rightarrow{a}}{f(x)}=\mathit{l},$ \lim_{{x}\rightarrow{a}}{f(x)}=\mathit{l},

la fonction

$\tilde{f}:{\mathcal{D}}\cup\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}\rightarrow{\mathbb{R}},$ \tilde{f}:{\mathcal{D}}\cup\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}\rightarrow{\mathbb{R}},

définie par

$\tilde{f}(x) = \begin{cases}f(x),x\neq{a}\\\mathit{l},x=a\end{cases},$ \tilde{f}(x) = \begin{cases}f(x),x\neq{a}\\\mathit{l},x=a\end{cases},

évidemment continue en le point a, est dite le prolongement par continuité de la

fonction f en le point a.

Fonctions ayant la propriété de Darboux:

Soit f:I - > R une fonction, où I est un intervalle inclus dans R.

La fonction f a la propriété de Darboux si pour tous les a, b de I, a < b et pour tout λ

entre f(a) et f(b), il existe xλ € (a,b), tel que f(xλ) = λ.

Théorème:

Toute fonction continue sur un intervalle a la propriété de Darboux sur cet intervalle.

Théorème de Weierstrass:

Soit l'intervalle [a,b] inclus dans R; toute fonction continue f:[a,b] - > R est bornée et

touche ses bornes sur cet intervalle (c'est-à-dire f([a,b]) est un intervalle fermé et

borné).

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