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Date de la publication: : 15 Juillet, 2010

EXERCICE 1

Support théorique:

Calcul des primitives, propriétés des logarithmes, résolution d'une équation logarithmique.

Enoncé:

Soit F la primitive de la fonction f:R -> R,

$f(x)={\frac{2x+1}{x^2+x+e^2}}\cdot{[{ln}(x^2+x+e^2)^{2}-3]},$ f(x)={\frac{2x+1}{x^2+x+e^2}}\cdot{[{ln}(x^2+x+e^2)^{2}-3]},

ayant la propriété F(0) = 0. Résoudre l'équation F(x) = 0.

Réponse:

S = {- 1; 0}.

Résolution:

$F(x)=\int{f(x)}{dx}=$ F(x)=\int{f(x)}{dx}= $\int{\frac{(x^2+x+e^2)^{$ \int{\frac{(x^2+x+e^2)^{'}}{(x^2+x+e^2)}}\cdot{2\cdot{ln}(x^2+x+e^2)}{dx}-3\int{\frac{(x^2+x+e^2)^{'}}{(x^2+x+e^2)}}{dx}=

$=2\int{lnu(x)}{({ln}^{$ =2\int{lnu(x)}{({ln}^{'}u(x))}{dx}-3\int{\frac{u^{'}(x)}{u(x)}{dx}}=

=ln²u(x) - 3lnu(x) + C = ln²(x² + x + e²) - 3ln(x² + x + e²) + C.

Conformément à l'hypothèse, F(0) = 0, on a, successivement:

ln²(e²) - 3ln(e²) + C = 0 < = > ... < = > C = 2,

donc l'équation F(x) = 0 devient:

ln²(x² + x + e²) - 3ln(x² + x + e²) + 2 = 0, ou:

ln²u - 3lnu + 2 = 0, d'où l'on obtient lnu = 1, ou lnu = 2 etc.

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