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Date de la publication: : 02 Octobre, 2011

EXERCICE 4

Support théorique:

Inégalités, propriétés des logarithmes.

Enoncé:

Démontrer que:

${\mathcal{S}}_{n-1}=\sum_{k=1}^{k=n-1}{{log}_{k+1}{(n-k+1)}}\ge{n-1},\;\forall{n}\in{\mathbb{N}},\;{n}\ge{2}.$ {\mathcal{S}}_{n-1}=\sum_{k=1}^{k=n-1}{{log}_{k+1}{(n-k+1)}}\ge{n-1},\;\forall{n}\in{\mathbb{N}},\;{n}\ge{2}.

Résolution:

On va étudier l'inégalité pour quelques valeurs initiales de n:

$1)\;{n=2}\Rightarrow{S_1=\sum_{1}^{1}{{log}_{k+1}{(3-k)}}}={log}_22=1,\;vrai.$ 1)\;{n=2}\Rightarrow{S_1=\sum_{1}^{1}{{log}_{k+1}{(3-k)}}}={log}_22=1,\;vrai.

$2)\;{n=3}\Rightarrow{S_2=\sum_{1}^{2}{{log}_{k+1}{(4-k)}}}={log}_23+{log}_32={log}_23+\frac{1}{{log}_23}>2,\;vrai.$ 2)\;{n=3}\Rightarrow{S_2=\sum_{1}^{2}{{log}_{k+1}{(4-k)}}}={log}_23+{log}_32={log}_23+\frac{1}{{log}_23}>2,\;vrai.

$3)\;{n=4}\Rightarrow{S_3=\sum_{1}^{3}{{log}_{k+1}{(5-k)}}}={log}_24+{log}_33+{log}_42=$ 3)\;{n=4}\Rightarrow{S_3=\sum_{1}^{3}{{log}_{k+1}{(5-k)}}}={log}_24+{log}_33+{log}_42=

$=1+{log}_24+\frac{1}{{log}_24}>{3},\;vrai.$ =1+{log}_24+\frac{1}{{log}_24}>{3},\;vrai.

Les calculs ci-dessus nous suggèrent qu'il faut analyser, pour le cas général,

les cas suivants:

$I)\;n=2m,\;{m}\ge{1}\Rightarrow{S_{n-1}}=$ I)\;n=2m,\;{m}\ge{1}\Rightarrow{S_{n-1}}= $S_{2m-1}=\sum_{k=1}^{k=2m-1}{{log}_{k+1}(2m+1-k)}=$ S_{2m-1}=\sum_{k=1}^{k=2m-1}{{log}_{k+1}(2m+1-k)}=

$={{log}_2{2m}+{log}_3(2m-1)+\cdots+{log}_m(m+2)+{log}_{m+1}(m+1)+{log}_{m+2}{m}+\cdots+{log}_{2m}{2}}>$ ={{log}_2{2m}+{log}_3(2m-1)+\cdots+{log}_m(m+2)+{log}_{m+1}(m+1)+{log}_{m+2}{m}+\cdots+{log}_{2m}{2}}>

2(m - 1) + 1 = n - 1, vrai (dans la somme ci-dessus il-y-a (m - 1) paires de nombres

de la forme

${log}_ab\;et\;{log}_ba$ {log}_ab\;et\;{log}_ba

et au centre le nombre

${log}_{m+1}(m+1)=1);$ {log}_{m+1}(m+1)=1);

de plus, on a tenu compte de l'inégalité

${{log}_ab+{log}_ba}>{2},$ {{log}_ab+{log}_ba}>{2},

les logarithmes étant, évidemment, positifs.

$II)\;n=2m+1,\;{m}\ge{1}\Rightarrow{S_{n-1}}=S_{2m}=\sum_{k=1}^{k=2m}{{log}_{k+1}(2m+2-k)}=$ II)\;n=2m+1,\;{m}\ge{1}\Rightarrow{S_{n-1}}=S_{2m}=\sum_{k=1}^{k=2m}{{log}_{k+1}(2m+2-k)}=

$={{log}_2(2m+1)+{log}_32m+\cdots+{log}_{2m+1}{2}}>{2m}=n-1,\;vrai.$ ={{log}_2(2m+1)+{log}_32m+\cdots+{log}_{2m+1}{2}}>{2m}=n-1,\;vrai.