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»ANNEAUX ET CORPS

Date de la publication: : 03 Novembre, 2011

EXERCICE 3

Support théorique:

Classes résiduelles modulo n, addition et multiplication modulo n, l'opposé et

l'inverse d'un élément, structure algébrique de corps commutatif.

Enoncé:

Résoudre l'équation suivante dans l'ensemble des classes résiduelles modulo 7:

$\hat{2}x^2+\hat{5}x+\hat{2}=\hat{0}.$ \hat{2}x^2+\hat{5}x+\hat{2}=\hat{0}.

Réponse:

$S=\{\hat{3},\hat{5}\}.$ S=\{\hat{3},\hat{5}\}.

Résolution:

Puisque le module n = 7 est premier, il en résulte que le triplet (Z7,+,·), où les

symboles "+" et "·" signifient l'addition et la multiplication modulo n, est un champs

(corp commutatif), donc tous les éléments non-nuls de Z7 sont inversibles.

En multipliant l'équation par ${\hat{2}}^{-1}=\hat{4}$ {\hat{2}}^{-1}=\hat{4} on obtient,

successivement, les équations équivalentes:

${x^2+\hat{6}x+\hat{1}=\hat{0}}\Leftrightarrow{x^2+\hat{2}x+\hat{4}x+\hat{8}=\hat{0}}\Leftrightarrow{x(x+\hat{2})+\hat{4}(x+\hat{2})=\hat{0}}\Leftrightarrow$ {x^2+\hat{6}x+\hat{1}=\hat{0}}\Leftrightarrow{x^2+\hat{2}x+\hat{4}x+\hat{8}=\hat{0}}\Leftrightarrow{x(x+\hat{2})+\hat{4}(x+\hat{2})=\hat{0}}\Leftrightarrow