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Date de la publication: : 15 Aout, 2010

Support théorique:

Equation portée sur des permutations, équation algébrique du 3-ième degré aux coefficients entiers, schéma de Horner.

Enoncé:

Résoudre l'équation:

$\frac{1}{P_{n-2}}-\frac{1}{P_{n-1}}=\frac{n^3-P_4}{P_n}.$ \frac{1}{P_{n-2}}-\frac{1}{P_{n-1}}=\frac{n^3-P_4}{P_n}.

Réponse:

n = 3.

Résolution:

On utilise la formule des permutations, on supprime les dénominateurs et l'on obtient

l'équation algébrique du 3-ième degré aux coefficients entiers:

n³ - n² + 2n - 24 = 0.

On teste les diviseurs naturels du terme constant (24) à l'aide du schéma de Horner et

l'on trouve n = 3.

Alternative:

On met l'équation sous la forme

(n - 3)(n² - 2n + 8) = 0,

voie, évidemment, plus laborieuse, mais accessible dans l'éventualité de la

méconnaissance du schéma de Horner, q'on étudie en classe terminale.

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