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Date de la publication: : 22 Décembre, 2009

Support théorique:

Equation du second degré aux coefficients réels, les relations de Viète.

Enoncé:

Etudier les signes des racines réelles de l'équation:

$({a^4}+1){x^2}+2{a^2}x+1=0,\;{a}\in{\mathbb{R}}^*.$ ({a^4}+1){x^2}+2{a^2}x+1=0,\;{a}\in{\mathbb{R}}^*.

Résolution erronée:

Utilisons les relations de Viète:

$S={x_1}+{x_2}=-\frac{2a^2}{a^4+1}<0\;et$ S={x_1}+{x_2}=-\frac{2a^2}{a^4+1}<0\;et

$P={x_1}\cdot{x_2}=\frac{1}{a^4+1}>0.$ P={x_1}\cdot{x_2}=\frac{1}{a^4+1}>0.

Il en résulte que les racines sont négatives toutes les deux.

Mais, du calcul suivant on déduit que:

$(x_1-x_2)^2=S^2-4P=...={-\frac{4}{(a^4+1)^2}}<0.$ (x_1-x_2)^2=S^2-4P=...={-\frac{4}{(a^4+1)^2}}<0.

Contradiction!!!

Où c'est l'erreur?

L'erreur s'est produite au moment où l'on a analysé le signe des racines, avant de

rechercher si celles-ci sont réelles! La vérité c'est que le discriminant de l'équation est

négatif, donc les racines ne sont pas réelles, par conséquent le problème de leur signe

n'a pas de sens! ( Le problème lui-même est un piège!)

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