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Date de la publication: : 13 Mai, 2011

EPREUVE-5

Support théorique:

Radical d'ordre pair/impair d'un nombre réel, fonction arcsin, inéquation trigonométrique.

Enoncé:

Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'inéquation trigonométrique:

$\sqrt[3]{{arcsinx}-\pi}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}}.$ \sqrt[3]{{arcsinx}-\pi}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}}.

Résolution erronée:

$\sqrt[3]{{arcsinx}-\pi}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}}$ \sqrt[3]{{arcsinx}-\pi}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}} <=> $\sqrt[6]{({{arcsinx}-{\pi})^2}}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}}$ \sqrt[6]{({{arcsinx}-{\pi})^2}}>\sqrt[6]{{arcsinx+{\pi}^2}} <=> ...

<=> (arcsinx)·(arcsinx - 2π - 1) > 0 <=> arcsinx < 0

( parce que, évidemment, arcsinx - 2π - 1 < 0, pour tout x de l'intervalle (- 1,+1) ),

donc, la solution c'est: x € (- 1; 0).

Mais on constate que pour x = - 1/2 € (- 1; 0), l'inéquation n'est pas vérifiée ...

(un nombre négatif n'est pas plus grand qu'un nombre positif !)

Où c'est l'erreur ?

Résolution correcte:

Tout d'abord, il faut observer que tous les deux radicaux sont bien définis:

le premier, d'ordre impair, n'a pas de "prétentions", tandis que le second, d'ordre pair,

concerne un nombre positif. L'erreur s'est produite au moment où le premier radical a

été ramené au même ordre que le second !

(il était négatif et, après, il est devenu positif, donc il n'a pas conservé sa valeur

initiale !)

Observations:

Il fallait observer, dès le début, que la solution de l'inéquation c'est l'ensemble

vide: un nombre négatif n'est pas plus grand qu'un nombre positif !

On n'a rien dit sur le domaine d'existence de l'inéquation ... (à savoir (- 1; 0)).

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