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Date de la publication: : 21 Novembre, 2009

EPREUVE-5

Support théorique:

Inéquations, fractions algébriques, le signe de la fonction du second degré.

Enoncé:

Trouver le nombre réel x, tel que:

$\frac{x^3+1}{x^3+x^2+x+1}<\frac{x+1}{x-1}.$ \frac{x^3+1}{x^3+x^2+x+1}<\frac{x+1}{x-1}.

Résolution erronnée:

${\frac{x^3+1}{x^3+x^2+x+1}}<{\frac{x+1}{x-1}}.$ {\frac{x^3+1}{x^3+x^2+x+1}}<{\frac{x+1}{x-1}}. <=> ${{\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x^2+1)(x+1)}}}<{\frac{x+1}{x-1}}$ {{\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x^2+1)(x+1)}}}<{\frac{x+1}{x-1}} <=> ${\frac{x^2-x+1}{x^2+1}}<{\frac{x+1}{x-1}}$ {\frac{x^2-x+1}{x^2+1}}<{\frac{x+1}{x-1}} <=> ...

<=> 3x² - x + 2 > 0, vraie pour tout x réel, car Δ < 0.

Mais il est facile à constater que pour x = 0 on obtient de l'inéquation: 1 < - 1, faux!

Où est-ce que s'est produit l'erreur?

Erreurs commises:

Les conditions d'existence ont été oubliées, à savoir les nombres (x ± 1) son non-nuls

et les dénominateurs ont été supprimés sans tenir compte de leurs signes.

Dans le cas x < 1 l'inéquation n'admet pas de solutions, tandis que dans le cas x > 1

on obtient x € (1,+oo), ceci étant la solution correcte.

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