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»NIVEAU I

Date de la publication: : 11 Septembe, 2009

Support théorique:

Inéquations irrationnelles, fonctions trigonométriques.

Enoncé:

Résoudre l'inéquation:

${\sqrt{3(1+sinx)}}\le{2cosx},\;x\in{[0,2\pi]}.$ {\sqrt{3(1+sinx)}}\le{2cosx},\;x\in{[0,2\pi]}.

Résolution erronnée:

L'inéquation devient, successivement:

(3 + 3sinx) € [0, 4cos²x] <=> (4sin²x + 3sinx - 1) € (- οο, 0] <=>

<=> sinx € [- 1; 1/4] <=> x € [0; arcsin(1/4)]U[π - arcsin(1/4), 2π].

On constate, facilement, que pour x = π l'inéquation n'est pas verifiée!

Où c'est l'erreur?

L'erreur s'est produite lorsqu'on a ignoré la condition évidente cosx € [0, +oo)

c'est-à-dire x € [0, π/2]U[3π/2, 2π].

Réponse correcte:

x € [0, arcsin(1/4)]U[3π/2, 2π].

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