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Date de la publication: : 08 Janvier, 2009

THEORIE

Définition du déterminant (d'ordre n):

Etant donnée une matrice carrée d'ordre n de la forme A = (aij)

où i, j appartiennent à l'ensemble {1, 2, ... ,n} c'est-à-dire

$A =\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right),$ A =\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right),

on appelle déterminant associé à la matrice A le nombre noté:

${det(A)}=\sum_{\sigma\in{S_n}}{{\epsilon{(\sigma)}}\cdot{a_{1\sigma(1)}}\cdot{a_{2\sigma(2)}}\cdots{a_{n\sigma(n)}}}.$ {det(A)}=\sum_{\sigma\in{S_n}}{{\epsilon{(\sigma)}}\cdot{a_{1\sigma(1)}}\cdot{a_{2\sigma(2)}}\cdots{a_{n\sigma(n)}}}.

Cas particuliers:

$n=2\Rightarrow\left|\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21};$ n=2\Rightarrow\left|\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21};
${ n=3}\Rightarrow\left|\begin{array}{rcl}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|=$ { n=3}\Rightarrow\left|\begin{array}{rcl}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|= $a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33},$ a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33},

résultat obtenu par la règle de Sarrus, ou par la méthode des triangles.

Observation:

La définition du déterminant d'ordre n nous montre que la somme, qui représente la

valeur de celui-ci contient n! termes; ceux-ci sont des produits de n facteurs distincts,

un seul facteur de chaque ligne et de chaque colonne de la matrice envisagée: les

produits précédés du signe + correspondent aux permutations paires σ dans Sn et les

autres, précédés du signe -, correspondent aux permutations impaires.

Par exemple, le terme - a12 a21 a33 correspond à la permutation

${\sigma}=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\\sigma(1)&\sigma(2)&\sigma(3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&1&3\end{array}\right)\in{S_{3}},$ {\sigma}=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\\sigma(1)&\sigma(2)&\sigma(3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&1&3\end{array}\right)\in{S_{3}},

puisque la permutation σ est impaire (elle a une seule inversion) et, donc, ε(σ) = - 1.

Propriétés des déterminants:

1) Le déterminant d'une matrice carrée est égal au déterminant de la matrice

transposée;

2) Si tous les éléments d'une ligne (colonne) sont nuls, alors le déterminant est nul;

3) Si l'on multiplie tous les éléments d'une ligne (colonne) par un nombre, alors la

valeur du déterminant se multiplie aussi par ce nombre;

4) Si deux lignes (colonnes) sont proportionelles, alors le déterminant est nul;

5) Si deux lignes (colonnes) échangent leurs places, alors le déterminant change de

signe;

6) Si l'on additionne tous les éléments d'une ligne colonne), multipliés par un nombre,

aux éléments respectifs d'une autre ligne (colonne), alors la valeur du déterminant ne

change pas;

7) Si une ligne (colonne) est une combinaison linéaire des autres lignes

(colonnes), alors le déterminant est nul;

8) Le déterminant du produit de deux matrices carrées du même ordre, est égal au

produit des déterminants des deux matrices;

9) Un déterminant d'ordre n > 1 est égal à la somme des produits entre les éléments

d'une ligne (colonne) et leurs compléments algébriques; (le développement

d'un déterminant, suivant une ligne (colonne), ou la règle des mineurs);

à l'aide de cette propriété, le calcul d'un déterminant d'ordre n se réduit au calcul de

quelque déterminants d'ordre (n - 1).

Déterminant Vandermonde:

${V_n}=\left|\begin{array}{ccccc}1&1&1&\cdots&1\\{x_1}&{x_2}&{x_3}&\cdots&{x_n}\\{{x_1}^2}&{{x_2}^2}&{{x_3}^2}&\cdots&{{x_n}^2}\\\cdots\\{{x_1}^{n-1}}&{{x_2}^{n-1}}&{{x_3}^{n-1}}&\cdots&{{x_n}^{n-1}}\end{array}\right|=\prod_{1\leq{i}<{j}\leq{n}}({x_j}-{x_i}).$ {V_n}=\left|\begin{array}{ccccc}1&1&1&\cdots&1\\{x_1}&{x_2}&{x_3}&\cdots&{x_n}\\{{x_1}^2}&{{x_2}^2}&{{x_3}^2}&\cdots&{{x_n}^2}\\\cdots\\{{x_1}^{n-1}}&{{x_2}^{n-1}}&{{x_3}^{n-1}}&\cdots&{{x_n}^{n-1}}\end{array}\right|=\prod_{1\leq{i}<{j}\leq{n}}({x_j}-{x_i}).

Cas particulier:

${V_3}=\left|\begin{array}{rcl}1&1&1\\a&b&c\\{a^2}&{b^2}&{c^2}\end{array}\right|=(b-a)(c-a)(c-b)$ {V_3}=\left|\begin{array}{rcl}1&1&1\\a&b&c\\{a^2}&{b^2}&{c^2}\end{array}\right|=(b-a)(c-a)(c-b) .

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