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Les permutations, les arrangements et les combinaisons sont des groupes

d'objets appartenant à un ensemble fini, sélectionnés d'une manière qui

respecte des règles précises, le problème centrale étant leur dénombrement.

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THEORIE

Date de la publication: : 21.07.2010

Permutations de n éléments:

Pn = 1 · 2 · 3 · (n - 1) · n = n!; (lire n factorial).

Le nombre n! représente le cardinal de l'ensemble des sous-ensembles ordonnés, qui

contiennent tous les n éléments de l'ensemble donné.

Arrangements de n éléments pris k à k:

$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1).$ A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1).

Le nombre $A_n^k$ A_n^k représente le cardinal de l'ensemble des sous-ensembles

ordonnés qui contiennent, chacun, k éléments des n éléments d'un ensemble donné;

évidemment:

${0}\leq{k}\leq{n},n\not={0}.$ {0}\leq{k}\leq{n},n\not={0}.

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 15.08.2010

Support théorique:

Equation portée sur des permutations, équation algébrique du 3-ième degré aux coefficients entiers, schéma de Horner.

Enoncé:

Résoudre l'équation:

$\frac{1}{P_{n-2}}-\frac{1}{P_{n-1}}=\frac{n^3-P_4}{P_n}.$ \frac{1}{P_{n-2}}-\frac{1}{P_{n-1}}=\frac{n^3-P_4}{P_n}.

Réponse:

n = 3.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 19.08.2010

Support théorique:

Permutations, cardinal d'un ensemble, équation à trois inconnues dans l'ensemble des nombres naturels.

Enoncé:

Trouver le cardinal de l'ensemble:

M = {(x, y, z) | x!·y!·z! = 720}, tels que x < y ou x = y, y < z, ou y = z.

Réponse:

Card(M) = 5.

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EXEMPLE 3

Date de la publication: : 07.08.2011

Support théorique:

Equation aux arrangements, fonctions monotones, conditions d'existence.

Enoncé:

Résoudre l'équation:

$A_{x+1}^1+A_{x+2}^2+A_{x+3}^3=3\cdot{A_{3-x}^1}.$ A_{x+1}^1+A_{x+2}^2+A_{x+3}^3=3\cdot{A_{3-x}^1}.

Réponse:

S = {0}.

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EXEMPLE 4

Date de la publication: : 18.11.2011

Support théorique:

Arrangements, cardinal d'un ensemble, image d'une fonction.

Enoncé:

Soit la fonction f:D - > N (où D, son domaine maximum de définition, est un

sous-ensemble de N), définie par la loi

$f(x)=A_{x^2+8x+2}^{2x^2+x+12},$ f(x)=A_{x^2+8x+2}^{2x^2+x+12},

où $A_n^k$ A_n^k représente le nombre d'arrangements de n objets k à k.

Trouver Card(Imf).

Réponse:

Card(Imf)=4.

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