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Date de la publication: : 07 Décembre, 2008

DEFINITIONS

Somme Riemann (ou la somme integrale), associée à la fonction f, à la division Δ

et au système des points intermédiaires xi, c'est le nombre réel:

${\sigma}_{\Delta}{(f,\xi)}=\sum_{i=1}^{i=n}{f{({\xi}_i)}}\cdot{({{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}}).$ {\sigma}_{\Delta}{(f,\xi)}=\sum_{i=1}^{i=n}{f{({\xi}_i)}}\cdot{({{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}}).

Définition:

La fonction f:[a,b] -> R s'appelle fonction integrable Riemann sur l'intervalle [a,b]

s'il existe un nombre réel I, tel que pour toute suite Δn de divisions de l'intervalle [a,b],

${{\Delta}_{n}} =({x_0}^{(n)},{x_1}^{(n)},{x_2}^{(n)},...,{x_{{k_n}-1}}^{(n)},{x_{{k_n}}}^{(n)}),\;avec\;$ {{\Delta}_{n}} =({x_0}^{(n)},{x_1}^{(n)},{x_2}^{(n)},...,{x_{{k_n}-1}}^{(n)},{x_{{k_n}}}^{(n)}),\;avec\;

$\lim_{n\rightarrow{\infty}}{||{\Delta}_{n}}||=0$ \lim_{n\rightarrow{\infty}}{||{\Delta}_{n}}||=0

et pour toute suite de points intermediaires

${\xi}^{(n)}=({{\xi}_{1}}^{(n)},{{\xi}_{2}}^{(n)},...,{{\xi}_{{k_n}-{1}}}^{(n)},{{\xi}_{k_n}}^{(n)}),\;ou\;$ {\xi}^{(n)}=({{\xi}_{1}}^{(n)},{{\xi}_{2}}^{(n)},...,{{\xi}_{{k_n}-{1}}}^{(n)},{{\xi}_{k_n}}^{(n)}),\;ou\;

${x_{i-1}}^{(n)}\leq{\xi_i}^{(n)}\leq{x_i}^{(n)},{1}\leq{i}\leq{k_n},{n}\in{\mathbb{N}},$ {x_{i-1}}^{(n)}\leq{\xi_i}^{(n)}\leq{x_i}^{(n)},{1}\leq{i}\leq{k_n},{n}\in{\mathbb{N}},

la suite respective des sommes intégrales est convergente vers I.

Le nombre I s'appelle l'intégrale définie ou l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle

[a,b] et l'on note

$\int_{a}^{b}{f(x){dx}}$ \int_{a}^{b}{f(x){dx}}

(qu'on lit intégrale de f entre a et b).

Donc:

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\sigma_{\Delta_n}}{(f,\xi_i)}=\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}.$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\sigma_{\Delta_n}}{(f,\xi_i)}=\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}.

Observations:

a) Toute fonction intégrable sur l'intervalle [a,b] est bornée: il existe, donc, les

nombres réells m, M, tels que:

$m\leq{f(x)}\leq{M},\forall{x}\in{\mathbb{R}}.$ m\leq{f(x)}\leq{M},\forall{x}\in{\mathbb{R}}.

Conséquence:

Si la fonction f:[a,b] - > R n'est pas bornée, alors f n'est pas intégrable sur [a,b].

b) L'intégrale définie d'une fonction intégrable sur un intervalle [a,b] est un nombre

réel, tandis-que l'intégrale non-définie de la fonction f sur l'intervalle [a,b] est un

ensemble de fonctions (l'ensemble des primitives de la fonction f sur l'intervalle[a,b]).

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