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»CLASSES RESIDUELLES modulo n

Un ensemble spécial d'objets mathématiques, sur lequel on a défini deux

opérations algébriques, nommées addition et multiplication modulo n,

présente des propriétés intéressantes, aux multiples applications théoriques

et pratiques (il s'appelle l'ensemble des classes résiduelles modulo n)

et son origine et liée au théorème de la division dans Z.

Une présentation des aspects théoriques essentiels, ainsi que quelques

applications significatifs ci-dessous:

THEORIE

Date de la publication: : 19.06.2010

Théorème de la division dans l'ensemble des entiers:

Etant donné un nombre naturel n, non-nul, pour tout entier k il existe les nombres

uniques q (entier) et r (naturel, plus petit que n), tels que a = nq + r.

Observations:

1) Le nombre q c'est le quotient, tandis que r c'est le reste de la division du nombre a

par n.

2) Notation: r = a(mod.n); on lit "a modulo n" et r s'appelle

le réduit modulo n du nombre a.

3) En s'imaginant que l'on divise tous les entiers par n, il est évident que les restes

obtenus sont plus grands ou égaux à 0 (dans le cas des multiples de n), mais plus

petits ou égaux à n - 1; donc, il existe exactement n types de nombres entiers,

qui se constituent en n sous-ensembles, disjoints 2 à 2, dont la réunion forme

l'ensemble Z (on dit que l'on définit de cette façon une partition de l'ensemble des

entiers).

Dans le cas particulier n = 5, on note de la façon suivante:

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 09.07.2010

Support théorique:

Anneau des classes résiduelles modulo 6, diviseurs de zéro.

Enoncé:

Résoudre le système suivant dans l'anneau des classes résiduelles modulo 6:

$\begin{cases}\hat{2}x+\hat{2}y=\hat{4}\\\hat{4}x+y=\hat{2}\end{cases}.$ \begin{cases}\hat{2}x+\hat{2}y=\hat{4}\\\hat{4}x+y=\hat{2}\end{cases}.

Réponse:

$\mathcal{S}=\{(\hat{0},\hat{2}),(\hat{1},\hat{4}),(\hat{2},\hat{0}),(\hat{3},\hat{2}),(\hat{4},\hat{4}),(\hat{5},\hat{0})\}.$ \mathcal{S}=\{(\hat{0},\hat{2}),(\hat{1},\hat{4}),(\hat{2},\hat{0}),(\hat{3},\hat{2}),(\hat{4},\hat{4}),(\hat{5},\hat{0})\}.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 31.10.2010

Support théorique:

Classes résiduelles modulo 5, système non-linéaire d'équations, corps commutatif (champs).

Enoncé:

Résoudre le système suivant dans l'ensemble des classes résiduelles modulo 5:

$\begin{cases}\hat{3}x^2+\hat{2}y^2=\hat{0}\\\hat{4}x+y^2=\hat{1}\end{cases}.$ \begin{cases}\hat{3}x^2+\hat{2}y^2=\hat{0}\\\hat{4}x+y^2=\hat{1}\end{cases}.