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Les deux méthodes du changement de variable, utilisées au calcul des

primitives et des intégrales définies, ont pour but l'obtention des

intégrales (associées) plus abordables.

Dans la première méthode, on note une expression, qui dépend de  x 

(l'ancienne variabile), par exemple par t (nouvelle variabile) et ensuite on

calcule l'intégrale associée I1; dans la deuxième méthode, on remplace x

(l'ancienne variabile) par une expression qui dépend de t (nouvelle variable),

et après on calcule l'intégrale associée I1.

Donc, dans tous les deux cas, la variable est changée à l'aide d'une certaine

substitution; le choix de celle-ci est décisif pour l'obtention d'une nouvelle

intégrale (associée), au résolution presque immédiate. 

Ci-dessous on va trouver les plus connues substitutions utilisées dans le calcul

des intégrales.

SUBSTITUTIONS USUELLES

Date de la publication: : 17.04.2011
  • Le calcul des intégrales des fonctions de la forme

R(x,\;\sqrt[n]{ax+b})\;sau\;R(x,\;\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}),R(x,\;\sqrt[n]{ax+b})\;sau\;R(x,\;\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}),

bénéficie des substitutions

\sqrt[n]{ax+b}=t,\;respectiv\;\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t,\sqrt[n]{ax+b}=t,\;respectiv\;\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t,

par la suite desquelles on obtient des fonction rationnelles en t, aux résolutions

fondées sur la décomposition en fractions simples, ou, parfois, voire directes.

  • Le calcul des intégrales des fonctions de la forme

R(x,\;\sqrt{ax^2+bx+c})R(x,\;\sqrt{ax^2+bx+c})

se fait en utilisant des substitutions (substitutions d'Euler) en fonction des valeurs des

coefficients a, b et c, à savoir:

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EXERCICE 1

Date de la publication: : 14.07.2011

Support théorique:

Intégrales définies, changement de variable, propriété de monotonie de l'intégrale définie, progressions géométriques.

Enoncé:

Montrer que le réel

I=\int_e^{e^2}{\frac{1}{\sqrt{1+lnx}}}{dx}I=\int_e^{e^2}{\frac{1}{\sqrt{1+lnx}}}{dx}

est compris entre deux termes consécutifs d'une progréssion géométrique ayant pour raison le réel e.

Réponse:

{2e}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\le{I}\le{2e^2}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}.{2e}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\le{I}\le{2e^2}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}.

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EXERCICE 2

Date de la publication: : 14.07.2011

Support théorique:

Primitives d'une fonction rationelle, deuxième méthode du changement de variable.

Enoncé:

Calculer, sur l'intervalle (1,+oo), les primitives de la fonction suivante:

f(x)=\frac{x^2-1}{x^4+x^3+x^2+x+1}.f(x)=\frac{x^2-1}{x^4+x^3+x^2+x+1}.

Réponse:

I={\frac{\sqrt{5}}{5}}\cdot{{ln}{\Big(\frac{2x^2+(1-\sqrt{5})x+2}{2x^2+(1+\sqrt{5}x+2)}\Big)}}+\mathcal{C}.I={\frac{\sqrt{5}}{5}}\cdot{{ln}{\Big(\frac{2x^2+(1-\sqrt{5})x+2}{2x^2+(1+\sqrt{5}x+2)}\Big)}}+\mathcal{C}.

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EXERCICE 3

Date de la publication: : 14.07.2011

Support théorique:

Intégrale trigonométrique définie, formule Leibniz-Newton, identités trigonométriques, première méthode du changement de variable.

Enoncé: 

Calculer l'intégrale définie:

I=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{sin3x}{1+2cosx}}{dx}.I=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{sin3x}{1+2cosx}}{dx}.

Réponse:

I=-\frac{1}{4}.I=-\frac{1}{4}.

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EXERCICE 4

Date de la publication: : 14.07.2011

Support théorique:

L'aire du sous-graphique d'une fonction, intégrale trigonométrique définie.

Enoncé:

Calculer l'aire du sous-graphique de la fonction

f:{[-{\frac{\pi}{2}},+\frac{\pi}{2}]}\rightarrow{\mathbb{R}},\;f(x)=\frac{1}{3+cosx}.f:{[-{\frac{\pi}{2}},+\frac{\pi}{2}]}\rightarrow{\mathbb{R}},\;f(x)=\frac{1}{3+cosx}.

Réponse:

A(\Gamma_f)={\sqrt{2}}\cdot{arctg}{\frac{\sqrt{2}}{2}}.A(\Gamma_f)={\sqrt{2}}\cdot{arctg}{\frac{\sqrt{2}}{2}}.

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