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»APPLICATIONS INVERSIBLES

Dans la suite on va présenter rapidement les sujets théoriques qui concernent

les applications admettant de réciproque, ainsi que toutes les applications

élémentaires (ou leurs restrictions) bijectives, à côté de leurs réciproques et,

finalement, quelques types d'exercices, en tant qu'applications là-dessus.

THEORIE-définitons

Date de la publication: : 13.12.2010

Définition:

Une application f: A --> B est dite inversibile, s'il existe une application g : B --> A,

telle que f o g = 1B et g o f = 1A, où 1M : M -> M, 1M(x) = x, pour tout x de M,

est dite application identique de l'ensemble M.

Dans le cas particulier où A = B, a lieu l'égalité: f o g = g o f = 1A .

Observations:

Habituellement, la réciproque d'une application (lorsqu'elle existe) se note par $f^{-1};$ f^{-1};
Si elle existe, on montre que l'application g (la réciproque de l'application f) est unique;
Dans ces conditions, a lieu l'équivalence y = f(x) <=> x = g(y),

où x parcourt le domaine de définition A de l'application f, tandis que y, l'image de x

par l'application f, parcourt le domaine de définition B de l'application g (codomaine de f !).

Les représentations graphiques d'une application et de sa réciproque (si elle

existe) sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

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FONCTIONS ELEMENTAIRES INVERSIBLES

Date de la publication: : 18.12.2010

Fonction du premier degré, inversible sur R:

Définition:

f:R - > R, f(x) = y = ax + b, où a, b sont des réels, a non-nul.

Réciproque:

$f^{-1}:R\rightarrow{R}, f^{-1}(y)=x=\frac{y-b}{a}.$ f^{-1}:R\rightarrow{R}, f^{-1}(y)=x=\frac{y-b}{a}.

Fonction du second degré, inversible, séparément, sur les intervalles:
I1 = (- oo,- b/2a] et I2 = [- b/2a,+ oo).
Définitions:
1) f:(- 00,- b/2a] - > (- 00,- Δ/4a], f(x) = y = ax² + bx + c, a < 0, b, c € R.

Réciproque:

$f^{-1}:{(-\infty,-\frac{\Delta}{4a}]}\rightarrow{(-\infty,-\frac{b}{2a}]},\;{f^{-1}}(y)=x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac+4ay}}{2a}$ f^{-1}:{(-\infty,-\frac{\Delta}{4a}]}\rightarrow{(-\infty,-\frac{b}{2a}]},\;{f^{-1}}(y)=x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac+4ay}}{2a}

2) f:(- 00,- b/2a] - > (- Δ/4a, + 00), f(x) = y = ax² + bx + c, a > 0, b, c € R.

Réciproque:

$f^{-1}:{[-\frac{\Delta}{4a},+\infty)}\rightarrow{(-\infty,-\frac{b}{2a},]},\;{f^{-1}}(y)=x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac+4ay}}{2a}$ f^{-1}:{[-\frac{\Delta}{4a},+\infty)}\rightarrow{(-\infty,-\frac{b}{2a},]},\;{f^{-1}}(y)=x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac+4ay}}{2a}

3) f:[- b/2a, + 00) - > (- 00, - Δ/4a], f(x) = y = ax² + bx + c, a < 0, b, c € R.

Réciproque:

$f^{-1}:{(-\infty,-\frac{\Delta}{4a}]}\rightarrow{[-\frac{b}{2a},+\infty)},\;{f^{-1}}(y)=x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac+4ay}}{2a}.$ f^{-1}:{(-\infty,-\frac{\Delta}{4a}]}\rightarrow{[-\frac{b}{2a},+\infty)},\;{f^{-1}}(y)=x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac+4ay}}{2a}.

4) f:[- b/2a,+ 00) - > [- Δ/4a,+ 00), f(x) = y = ax² + bx + c, a > 0, b, c € R.

Réciproque:

$f^{-1}:{[-\frac{\Delta}{4a},+\infty)}\rightarrow{[-\frac{b}{2a},+\infty)},\;{f^{-1}}(y)=x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac+4ay}}{2a}.$ f^{-1}:{[-\frac{\Delta}{4a},+\infty)}\rightarrow{[-\frac{b}{2a},+\infty)},\;{f^{-1}}(y)=x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac+4ay}}{2a}.

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EXERCICE 1

Date de la publication: : 14.12.2010

Support théorique:

Fonction radical, résolution d'une équation irrationnelle, la recherche de la réciproque.

Enoncé:

On donne l'application:

$f:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\;f(x)=y=\sqrt[3]{8x^3+1}.$ f:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\;f(x)=y=\sqrt[3]{8x^3+1}.

Démontrer que f est inversible et après déterminer sa réciproque.

Réponse:

$f^{-1}:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\;{f^{-1}}(y)=x={\frac{1}{2}}\cdot{\sqrt[3]{y^3-1}}.$ f^{-1}:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},\;{f^{-1}}(y)=x={\frac{1}{2}}\cdot{\sqrt[3]{y^3-1}}.

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EXERCICE 2

Date de la publication: : 22.12.2010

Support théorique:

Inéquations transcendantes, applications réciproques, arcsinus.

Enoncé:

Résoudre dans l'ensemble des réels l'inéquation:

$4arcsin^2x-2(1-\sqrt{3})arcsinx-\sqrt{3}\le{0}.$ 4arcsin^2x-2(1-\sqrt{3})arcsinx-\sqrt{3}\le{0}.

Réponse:

$x\in{[-sin{\frac{\sqrt{3}}{2}},sin{\frac{1}{2}}]}.$ x\in{[-sin{\frac{\sqrt{3}}{2}},sin{\frac{1}{2}}]}.

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EXERCICE 3

Date de la publication: : 23.12.2010

Support théorique:

Fonction bijective, la réciproque d'une fonction bijective, identités trigonométriques remarquables.

Enoncé:

Démontrer que la fonction

$f:{[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]}\rightarrow{[-\sqrt{2},\sqrt{2}]},$ f:{[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]}\rightarrow{[-\sqrt{2},\sqrt{2}]},

f(x) = sinx + cosx,

est bijective et déterminer sa réciproque.

Réponse:

${f^{-1}}:{[-\sqrt{2},\sqrt{2}]}\rightarrow{[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]},\;{f^{-1}}(x)=\frac{\pi}{4}+{arccos}{\frac{x}{\sqrt{2}}}.$ {f^{-1}}:{[-\sqrt{2},\sqrt{2}]}\rightarrow{[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]},\;{f^{-1}}(x)=\frac{\pi}{4}+{arccos}{\frac{x}{\sqrt{2}}}.

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LE ROUMAIN

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