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»APPLICATIONS DE LA TRIGONOMETRIE DANS LA GEOMETRIE

Résoudre un triangle quelconque (c'est-à-dire trouver tous ces éléments,

lorsqu'on en connaît trois, parmis lesquels un côté, au moins) c'est un

problème fondamental de la géométrie plane et la trigonométrie constitue un

outil décisif dans la réalisation de cet objectif.

THEORIE

Date de la publication: : 13.11.2010

Nota:

Dans la suite on utilise les notations habituelles dans un triangle:

a, b, c: longueurs des cotés;
A, B, C: mesures des angles;
R: rayon du cercle circonscrit;
r: rayon du cercle inscrit;
p: demipérimètre (p = (a + b + c)/2);
la bissectrice intérieure de l'agle A;
S: aire du triangle.

Théorème des projections:

a = b·cosC + c·cosB

et les analogues,obtenues par des permutations circulaires.

Longueur d'une corde:

Dans un cercle dont le rayon c'est R, la longueur d'une corde MN, qui sous-tend un arc

de cercle ayant pour mesure x, est donnée par la formule:

$MN=2Rsin{\frac{x}{2}}.$ MN=2Rsin{\frac{x}{2}}.

Théorème du cosinus (théorème généralisé de Pythagore):

a² = b² + c² - 2bccosA,

et les analogues,obtenues par des permutations circulaires.

Théorème des sinus:

$\frac{a}{\sin{A}}=$ \frac{a}{\sin{A}}= $\frac{b}{\sin{B}}=$ \frac{b}{\sin{B}}= $\frac{c}{\sin{C}}=2R.$ \frac{c}{\sin{C}}=2R.

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EXERCICE 1

Date de la publication: : 16.11.2010

Support théorique:

Cercle inscrit et circonscrit à un triangle, rapports trigonométriques dans le triangle rectangle, identités trigonométriques.

Enoncé:

On donne un triangle rectangle ABC, où l'on a:

${AB}\perp{AC},\;BC=a,\;mes(\widehat{ABC})=\alpha,\;{\alpha}\in{(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})}\;et\;proj_{BC}{A}=\{D\}.$ {AB}\perp{AC},\;BC=a,\;mes(\widehat{ABC})=\alpha,\;{\alpha}\in{(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})}\;et\;proj_{BC}{A}=\{D\}.

Trouver la longueur L de la tangente menée du centre du cercle circonscrit au

triangle ADC, au cercle inscrit dans le même triangle.

Réponse:

$L=\frac{a({sin}{\alpha})\cdot({sin}{\alpha}-{cos}{\alpha})}{2}.$ L=\frac{a({sin}{\alpha})\cdot({sin}{\alpha}-{cos}{\alpha})}{2}.

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EXERCICE 2

Date de la publication: : 13.01.2011

Support théorique:

Parallélogramme, bissectrice d'un angle, périmètre d'un triangle, théorème de la bissectrice, théorème du cosinus.

Enoncé:

Soit le parallélogramme ABCD, où AB = 3m, AD = m, I appartient à la diagonale (BD),

tel que AI c'est la bissectrice de l'angle BAD.

En sachant que $AI=\frac{3m\sqrt{3}}{4},$ AI=\frac{3m\sqrt{3}}{4}, trouver le périmètre du triangle ACJ,

où J c'est l'intersection de la bissectrice AI par le côté CD.

Réponse:

$\mathcal{P}=m(2+\sqrt{3}+\sqrt{13}).$ \mathcal{P}=m(2+\sqrt{3}+\sqrt{13}).

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EXERCICE 3

Date de la publication: : 19.05.2011

Support théorique:

L'aire d'un triangle, le théorème du cosinus, les rayons des cercles inscrit et circonscrit à un triangle.

Enoncé:

Dans le triangle ABC on a: AB = 2a, AC = 3a, a > 0 et mes(A) = 60°.

1) Résoudre le triangle ABC.

2) Trouver les longueurs des rayons des cercles inscrit et circonscrit au triangle.

Réponse:

$1)BC=a\sqrt{7},\;{mes}(B)={arccos}{\frac{\sqrt{7}}{14}},\;{mes}(C)={arccos}{\frac{2\sqrt{7}}{7}}.$ 1)BC=a\sqrt{7},\;{mes}(B)={arccos}{\frac{\sqrt{7}}{14}},\;{mes}(C)={arccos}{\frac{2\sqrt{7}}{7}}.

$2)r=\frac{3a\sqrt{3}}{5+\sqrt{7}},\;R=\frac{a\sqrt{21}}{3}.$ 2)r=\frac{3a\sqrt{3}}{5+\sqrt{7}},\;R=\frac{a\sqrt{21}}{3}.

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LE ROUMAIN

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