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»APPLICATIONS DE L'INTEGRALE DEFINIE

Dans le cas d'une fonction f, continue et non-négative sur un intervalle [a,b], le calcul intégral nous offre des "recettes" précises pour évaluer:

L'aire de la surface plane, délimitée par le graphique de la fonction f, l'axe Ox et les droites d'équations x = a et x = b,
Le volume du corps de rotation, obtenu par la rotation du sous-graphique de la fonction f, autour de l'axe Ox,
La longueur de l'arc de courbe, défini par la fonction f, dérivable, dont la dérivée est continue, sur un intervalle [a,b],
L'aire de la surface de rotation, obtenue par la rotation du graphique de la fonction f, autour de l'axe Ox,
Les coordonnées du centre de gravité de la plaque homogène, délimitée par le graphique de la fonction f, l'axe Ox et les droites d'équations x = a et x = b.

THEORIE

Date de la publication: : 23.07.2010

L'aire de la surface plane (limitée par deux courbes représentatives des fonctions

continues f et g et des droites d'équations x = a et x = b):

$\mathcal{A}({\Gamma}_{f,g})=\int_{a}^{b}{|f(x)-g(x)|}{dx}.$ \mathcal{A}({\Gamma}_{f,g})=\int_{a}^{b}{|f(x)-g(x)|}{dx}.

Cas particulier:

${g(x)=0}\Rightarrow{\mathcal{A}({\Gamma}_{f})=\int_{a}^{b}{|f(x)|}{dx}}.$ {g(x)=0}\Rightarrow{\mathcal{A}({\Gamma}_{f})=\int_{a}^{b}{|f(x)|}{dx}}.

Le volume du solide de révolution (généré par la rotation complète du sous-

graphique de la fonction continue et positive f:[a,b] - > [0,+00) autour de l'axe des

abscisses):

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 28.08.2010

Support théorique:

Aire d'une surface de rotation, graphique d'une fonction, calcul d'une intégrale définie, méthode du changement de variable.

Enoncé:

Trouver l'aire de la surface générée par la rotation de l'arc de courbe, délimité par les

droites x = 2 et x = 6, dans le graphique de la fonction f: [0,+oo) -> R,

$f(x)=\sqrt{x},$ f(x)=\sqrt{x}, autour de l'axe x'x.

Réponse:

$\mathcal{A}=\frac{49\pi}{3}.$ \mathcal{A}=\frac{49\pi}{3}.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 09.11.2010

Support théorique:

Limite d'une suite calculée à l'aide de l'intégrale définie, somme Riemann, méthode d'intégration par parties.

Enoncé:

Calculer la limite L de la suite ayant pour terme général:

$a_n=\frac{1}{n^2}{arctg}(\frac{1}{n})+\frac{2}{n^2}{arctg}(\frac{2}{n})+\cdots+\frac{n}{n^2}{arctg}(\frac{n}{n}),\;{n}\ge{1}.$ a_n=\frac{1}{n^2}{arctg}(\frac{1}{n})+\frac{2}{n^2}{arctg}(\frac{2}{n})+\cdots+\frac{n}{n^2}{arctg}(\frac{n}{n}),\;{n}\ge{1}.