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Date de la publication: : 09 Juin, 2010

Support théorique:

Racines communes de deux polynômes, algorithme d'Euclide.

Enoncé:

Trouver les racines communes des polynômes:

${f,g}\in{\mathbb{C}}[X],\;f=X^4+X^3+2X^2+X+1,\;g=X^3+X^2+X+1.$ {f,g}\in{\mathbb{C}}[X],\;f=X^4+X^3+2X^2+X+1,\;g=X^3+X^2+X+1.

Réponse:

x1 = - i, x2 = + i.

Résolution:

Les racines communes sont les racines du p.g.d.c.des polynômes f et g.

On va le calculer en utilisant l'algorithme d'Euclide:

On divise f par g et l'on obtient le quotient q1 = X et le reste r1 = X² + 1;

on divise ensuite g par r1 et l'on obtient le quotient q2 = X + 1 et le reste r2 = 0.

Puisque le dernier reste non-nul c'est r1 = X² + 1, on en déduit que (f,g) = X² + 1 et,

donc, les racines communes sont les racines de l'équation

X² + 1 = 0, c'est-à-dire - i et + i.

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