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»ANNEAUX ET CORPS

Dans ce chapitre sont présentées succinctement, les structures algébriques

d'anneau et corps, y compris leurs propriétés essentielles, qui systématisent

les connaissances sur les différants ensembles d'objets

mathématiques étudiés: ensembles de nombres

(naturels, entiers, rationnels, réels et complexes),

ensembles de classes résiduelles modulo n, ensembles de polynomes,

ensembles de matrices, ensembles de fonctions, ensembles de

permutations, ensembles de vecteurs, ensembles de transformations

géométriques (rotations, translations, symétries, homothéties etc.) etc.

THEORIE

Date de la publication: : 13.01.2009

Anneau:

Soit un ensemble non-vide A, muni de deux lois de composition internes, notées $\oplus\;et\;\otimes,$ \oplus\;et\;\otimes,

(c'est-à-dire l'ensemble A est partie stable par rapport aux lois);

le triplet $(A,\oplus,\otimes)$ (A,\oplus,\otimes) s'appelle anneau si:

Le couple $(A ,\oplus)$ (A ,\oplus) est un groupe abélien;
Le couple $(A,\otimes)$ (A,\otimes) est un monoide;
La loi $\otimes$ \otimes est distributive, bilatéralement, par rapport à la loi $\oplus.$ \oplus.

Si la loi $\otimes$ \otimes est commutative, alors l'anneau est dit commutatif.

Observation:

Les éléments symétrisables par rapport à la loi $\otimes$ \otimes

s'appellent les unités de l'anneau.

Anneau intègre:

Anneau commutatif, $(A,\oplus,\otimes)$ (A,\oplus,\otimes) , qui contient au moins deux éléments

et sans diviseur de zéro, c'est-à-dire

$\forall{x,y}\neq{O}$ \forall{x,y}\neq{O} $\Rightarrow$ \Rightarrow ${{x}\otimes{y}}\neq{O},$ {{x}\otimes{y}}\neq{O},

où O représente l'élément neutre par rapport à la loi $\oplus.$ \oplus.

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 22.08.2010

Support théorique:

Loi de composition, groupe abélien, monoide commutatif, anneau commutatif, diviseur de zéro, anneau intègre.

Enoncé:

Trouver les nombres entiers a et b, tels que le triplet

${(\mathbb{Z},\oplus,\otimes)},\;ou \;{x}\oplus{y}=x+y+a\;et\;{x}\otimes{y}=xy+bx+by+a,\;\forall{x,y}\in{\mathbb{Z}},$ {(\mathbb{Z},\oplus,\otimes)},\;ou \;{x}\oplus{y}=x+y+a\;et\;{x}\otimes{y}=xy+bx+by+a,\;\forall{x,y}\in{\mathbb{Z}},

soit anneau intègre (anneau commutatif qui contient 2 éléments au moins, sans

diviseur de zéro).

Réponse:

a = b = 0, ou a = b = 2.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 28.10.2010

Support théorique:

Système linéaire aux coefficients dans l'anneau des classes résiduelles modulo 4, diviseurs de zéro, déterminant d'ordre 3, matrice singulière, règle de Cramer, méthode de la substitution, méthode de la réduction, système compatible indéterminé.

Enoncé:

Résoudre le système suivant dans l'anneau des classes résiduelles modulo 4:

$\begin{cases}x+2\hat{y}+z=\hat{0}\\\hat{2}x+y+z=\hat{3}\\x+y+\hat{2}z=\hat{1}\end{cases}.$ \begin{cases}x+2\hat{y}+z=\hat{0}\\\hat{2}x+y+z=\hat{3}\\x+y+\hat{2}z=\hat{1}\end{cases}.

Réponse:

$\mathcal{S}=\{(\hat{3},\hat{1},\hat{0}),(\hat{0},\hat{1},\hat{2}),(\hat{1},\hat{2},\hat{3}),(\hat{2},\hat{3},\hat{0})\}.$ \mathcal{S}=\{(\hat{3},\hat{1},\hat{0}),(\hat{0},\hat{1},\hat{2}),(\hat{1},\hat{2},\hat{3}),(\hat{2},\hat{3},\hat{0})\}.