Informations, définitions, théorèmes, formules, exercices et problèmes résolus sur les mathématiques du lycée. RSS/XML

»ANNEAUX ET CORPS

Date de la publication: : 13 Janvier, 2009

THEORIE

Anneau:

Soit un ensemble non-vide A, muni de deux lois de composition internes, notées $\oplus\;et\;\otimes,$ \oplus\;et\;\otimes,

(c'est-à-dire l'ensemble A est partie stable par rapport aux lois);

le triplet $(A,\oplus,\otimes)$ (A,\oplus,\otimes) s'appelle anneau si:

Le couple $(A ,\oplus)$ (A ,\oplus) est un groupe abélien;
Le couple $(A,\otimes)$ (A,\otimes) est un monoide;
La loi $\otimes$ \otimes est distributive, bilatéralement, par rapport à la loi $\oplus.$ \oplus.

Si la loi $\otimes$ \otimes est commutative, alors l'anneau est dit commutatif.

Observation:

Les éléments symétrisables par rapport à la loi $\otimes$ \otimes

s'appellent les unités de l'anneau.

Anneau intègre:

Anneau commutatif, $(A,\oplus,\otimes)$ (A,\oplus,\otimes) , qui contient au moins deux éléments

et sans diviseur de zéro, c'est-à-dire

$\forall{x,y}\neq{O}$ \forall{x,y}\neq{O} $\Rightarrow$ \Rightarrow ${{x}\otimes{y}}\neq{O},$ {{x}\otimes{y}}\neq{O},

où O représente l'élément neutre par rapport à la loi $\oplus.$ \oplus.

Corps:

Soit un ensemble non-vide K, muni de deux lois de composition internes, (c'est-à-dire

l'ensemble K este partie stable par rapport aux lois).

Le triplet $(K,\oplus,\otimes)$ (K,\oplus,\otimes) s'appelle corps si ce triplet est un anneau dont

ses éléments neutres sont distinctes et tous les éléments de K, différents de

l'élément neutre par rapport à la loi $\oplus,$ \oplus, sont symétrisables par rapport à la

loi $\otimes.$ \otimes.

Si la loi $\otimes$ \otimes est commutative, alors le corps est commutatif.

Morphismes et isomorphismes d'anneaux et corps:

Les anneaux $(A,\oplus,\otimes)\;et\;(A$ (A,\oplus,\otimes)\;et\;(A',\ast,\circ)

s'appellent homomorphes s'il existe une fonction f : A - > A', telle que:

$a)\;{f({x}\oplus{y})}={f(x)}\ast{f(y)},\forall{x,y}\in{A};$ a)\;{f({x}\oplus{y})}={f(x)}\ast{f(y)},\forall{x,y}\in{A};

$b)\;{f({x}\otimes{y})}={f(x)}\circ{f(y)},\forall{x,y}\in{A};$ b)\;{f({x}\otimes{y})}={f(x)}\circ{f(y)},\forall{x,y}\in{A};

$c)\;f(1)=f(1^{$ c)\;f(1)=f(1^{'}),

où 1 et 1' sont les éléments neutres des deux anneaux, relativement aux lois

$\otimes,$ \otimes, respectivement o (les lois multiplicatives des anneaux); la fonction

f est dite morphisme d'anneau. Si la fonction f est, de plus, bijective, alors elle est

dite isomorphisme d'anneaux et les anneaux s'appellent isomorphes.

Les corps $(K,\oplus,\otimes)\;et\;(K$ (K,\oplus,\otimes)\;et\;(K',\ast,\circ) sont dits

homomorphes, respectivement isomorphes, si les anneaux

${(K,\oplus,\otimes)}\;et{(K$ {(K,\oplus,\otimes)}\;et{(K',\ast,\circ)}

(tout corps est, simultanément, anneau !) sont homomorphes ou isomorphes.

Observations:

a) Tout morphisme d'un anneau (corps) vers lui même s'appelle endomorphisme;

b) Tout isomorphisme d'un anneau (corps) vers lui même s'appelle automorphisme;

c) Tout morphisme injectif est dit monomorphisme;

d) Tout morphisme surjectif s'appelle epimorphisme;

e) Si f:A - > A' est un morphisme d'anneaux, alors

${Imf}=\begin{Bmatrix}{y}\in{A$ {Imf}=\begin{Bmatrix}{y}\in{A'}|\exists{x}\in{A}, f(x)={y}\end{Bmatrix}

(l'image du morphisme) et

${Kerf}=\begin{Bmatrix} {x}\in{A}|f(x)={0$ {Kerf}=\begin{Bmatrix} {x}\in{A}|f(x)={0'}\end{Bmatrix},

(le noyau du morphisme), où 0' représente l'élément nul de l'anneau A', sont des sous-

groupes des groupes (A', *), respectivement $(A,\oplus).$ (A,\oplus).

Théorème 1:

Tout morphisme des corps est un monomorphisme (il est injectif).

Théorème 2:

Un corps n'admet pas de diviseurs de zéro.

Théorème 3:

Tout corps finit est commutatif (théorème de Wedderburn).

Posté dans ANNEAUX ET CORPS

Revenir à la catégorie principale

Ajoutez un commentaire

Réponses et commentaires:

Pait

aowGajMYgRtcMfmK, 24.06.2011 14:30

Thank God! Somneoe with brains speaks!

Sélectionner ce link pour me contacter par YAHOO MESSENGER!

CATEGORIES :

Archives du blog

Developed by Hagau Ioan