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Date de la publication: : 07 Octobre, 2011

ANALYSE-45

Support théorique:

Suites bornées, fonction logarithme naturel, inégalités remarquables, partie entière d'un nombre réel.

Enoncé:

Démontrer que la suite des nombres réels, définie par le terme général

$(x_n)_{{n}\ge{1}}=\frac{[ln(n)]}{\sqrt{n}},$ (x_n)_{{n}\ge{1}}=\frac{[ln(n)]}{\sqrt{n}},

est bornée.

Démonstration:

Selon la définition de la partie entière d'un nombre réel, les propriétés

des logarithmes et une inégalité remarquable, on a successivement:

${0}\le{x_n}={\frac{[ln(n)]}{\sqrt{n}}}\le{\frac{ln(n)}{\sqrt{n}}=\frac{ln(\sqrt{n})^2}{\sqrt{n}}={2}\cdot{\frac{ln(\sqrt{n})}{\sqrt{n}}}<{2}}.$ {0}\le{x_n}={\frac{[ln(n)]}{\sqrt{n}}}\le{\frac{ln(n)}{\sqrt{n}}=\frac{ln(\sqrt{n})^2}{\sqrt{n}}={2}\cdot{\frac{ln(\sqrt{n})}{\sqrt{n}}}<{2}}.

Donc xn € [0;2), par conséquent la suite est bornée.

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