Informations, définitions, théorèmes, formules, exercices et problèmes résolus sur les mathématiques du lycée. RSS/XML

Date de la publication: : 14 Avril, 2011

Support théorique:

Fonctions polynômiales, racines réelles d'une équation algébrique, suite de Rolle.

Enoncé:

Soit la fonction polynômiale f:R - > R, définie par la loi

f(x) = 2x³ - 3x² - 12x + 6m,

où m est un paramètre réel.

Trouver m entier, tel que l'équation algébrique f(x) = 0 ait toutes ses racines réelles.

Réponse:

m € {- 1, 0, 1, 2, 3}.

Résolution:

On calcule les points critiques de la fonction f, après les valeurs de la fonction f en

ses points critiques, ainsi que les limites de la fonction f vers - oo et + oo, après quoi

on impose à la suite de Rolle qu'elle contienne trois variations de signe.

Les zéros de la dérivée f'(x) = 6x² - 6x -12 (les points critiques) sont - 1 et 2, donc la

suite de Rolle devient:

- , sign(f(- 1)), sign(f(2)), +,

c'est-à-dire:

- , sign(6m + 7), sign(6m - 20), +.

Pour obtenir les variations de signe nécessaires, il faut que

6m + 7 > 0 et 6m - 20 < 0;

il en résulte - 7/6 < m < 10/3 et, puisque m doit être entier, on aura la solution.

Réponses et commentaires:

Pour instant, aucun commentaire n'a été ajouté.