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Date de la publication: : 10 Juillet, 2011

ANALYSE-31

Support théorique:

Intégrale définie, variation d'une fonction, téorème de la moyenne, limites de suites, théorème des deux gendarmes.

Enoncé:

Calculer la limite suivante:

$L=lim_{n\rightarrow{\infty}}{(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{sinx}{x}}{dx})}^n.$ L=lim_{n\rightarrow{\infty}}{(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{sinx}{x}}{dx})}^n.

Réponse:

L = 0.

Résolution:

Puisque l'intégrale ne peut pas être calculée par des méthodes élémentaires

(voir Observation ici), on procède de la façon suivante:

Soit la fonction f:[π/6;π/3] - > R, f(x) = sinx/x, dont la dérivée c'est

f'(x) = (cosx/x²)(x - tgx); on prouve que f(x) < 0 sur son domaine entier de définition,

d'où l'on obtient

${\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}}\le{f(x)}\le{\frac{3}{\pi}},\;\forall{x}\in{[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}]}.$ {\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}}\le{f(x)}\le{\frac{3}{\pi}},\;\forall{x}\in{[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}]}.

En utilisant le théorème de la moyenne, après quelques calculs élémentaires, il en

résulte que:

${{(\frac{\sqrt{3}}{4})}^n}$ {{(\frac{\sqrt{3}}{4})}^n} $\le$ \le ${(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{sinx}{x}}{dx})}^n$ {(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{sinx}{x}}{dx})}^n $\le$ \le ${(\frac{1}{2})}^n.$ {(\frac{1}{2})}^n.