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»CALCUL INTEGRAL

Date de la publication: : 22 Mai, 2011

ANALYSE-29

Support théorique:

Limites de suites, intégrale définie, critère du rapport.

Enoncé:

Calculer la limite de la suite (an), n € Ν, n > 1, dont le terme général c'est:

$a_n=\int_{n-1}^n{\frac{e^x\cdot(x-1)}{x^2}}{dx}.$ a_n=\int_{n-1}^n{\frac{e^x\cdot(x-1)}{x^2}}{dx}.

Réponse:

lim(an) = +oo

Résolution:

On observe que le terme général de la suite peut être écrit successivement:

$a_n=\int_{n-1}^n{(\frac{e^x}{x})}^{$ a_n=\int_{n-1}^n{(\frac{e^x}{x})}^{'}{dx}={\frac{e^x}{x}}|_{n-1}^n=\cdots={(\frac{e^n}{n})}\cdot{[1-\frac{n}{e(n-1)}]}.

Il en résulte que

${\lim}{(a_n)}={[\lim}{\frac{e^n}{n}]}\cdot{[\lim}{(1-\frac{n}{e(n-1)})]}=\cdots=+\infty,$ {\lim}{(a_n)}={[\lim}{\frac{e^n}{n}]}\cdot{[\lim}{(1-\frac{n}{e(n-1)})]}=\cdots=+\infty,