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Date de la publication: : 25 Septembe, 2011

Support théorique:

Equation irrationnelle, radicaux d'ordre impair, identités remarquables.

Enoncé:

Résoudre l'équation irrationnelle suivante dans l'ensemble des réels:

$\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{x-3}=0.$ \sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{x-3}=0.

Réponse:

x = 2.

Résolution:

Evidemment, l'équation est bien définie sur R, car tous les radicaux sont d'ordre impair.

a³ + b³ + c³ - 3abc = (1/2)(a + b + c)[(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²].

En identifiant les 3 radicaux par a, b et c, il en résulte:

$(x-1)+(x-2)+(x-3)-{3}\cdot{\sqrt[3]{(x-1)(x-2)(x-3)}}=0.$ (x-1)+(x-2)+(x-3)-{3}\cdot{\sqrt[3]{(x-1)(x-2)(x-3)}}=0.

Des calculs assez simples conduisent à la solution x = 2.

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