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Date de la publication: : 24 Septembe, 2011

Support théorique:

Fonction exponentielle, fonction logarithme, système d'équations exponentielles.

Enoncé:

Résoudre dans R² le système suivant d'équations exponentielles:

$\begin{cases}2^x+3^y=17\\8^x+27^y=1241\end{cases}.$ \begin{cases}2^x+3^y=17\\8^x+27^y=1241\end{cases}.

Réponse:

S = {(3;2), (2log2 3;3log3 2)}.

Résolution:

Le système peut être écrit sous la forme:

$\begin{cases}2^x+3^y=17\\2^{3x}+3^{3y}=1241\end{cases}.$ \begin{cases}2^x+3^y=17\\2^{3x}+3^{3y}=1241\end{cases}.

En notant

$2^x=u\;et\;3^y=v,$ 2^x=u\;et\;3^y=v,

le système devient simétrique:

$\begin{cases}u+v=17\\u^3+v^3=1241\end{cases}.$ \begin{cases}u+v=17\\u^3+v^3=1241\end{cases}.

On trouve assez facilement que u = 8 et v = 9 ou u = 9 et v = 8 etc.

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