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»ALGEBRE ELEMENTAIRE - deuxième partie

Date de la publication: : 12 Juin, 2011

ALGEBRE-43

Support théorique:

Ensemble défini analytiquement, système d'inégalités numériques, cardinal d'un ensemble, binôme de Newton, divisibilité dans l'ensemble des nombres naturels.

Enoncé:

Soit l'ensemble:

M = $\{m\in{\mathbb{N}}|{n^k}<{m}<{(n+1)^k},\;n\in{\mathbb{N}^*},\;k\in{\mathbb{N}},\;{k}\ge{2}\}.$ \{m\in{\mathbb{N}}|{n^k}<{m}<{(n+1)^k},\;n\in{\mathbb{N}^*},\;k\in{\mathbb{N}},\;{k}\ge{2}\}.

Démontrer que le nombre Card(M) est divisible par n.

Démonstration:

Le nombre d'éléments m de l'ensemble donné, en tant que des nombres naturels

plus grands que

$n^k\;et\;plus\;petits\;que\;(n+1)^k$ n^k\;et\;plus\;petits\;que\;(n+1)^k

est donné par la différence entre l'antécédent de

${(n+1)}^k\;et\;{n^k}:$ {(n+1)}^k\;et\;{n^k}:

$\Big((n+1)^k-1\Big)-\Big(n^k\Big)=\cdots=$ \Big((n+1)^k-1\Big)-\Big(n^k\Big)=\cdots= ${n({C_k^1}{n^{k-2}}+C_k^2{n^{k-3}}+\cdots+C_k^{k-1})}\vdots{n}$ {n({C_k^1}{n^{k-2}}+C_k^2{n^{k-3}}+\cdots+C_k^{k-1})}\vdots{n}

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