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Date de la publication: : 21 Octobre, 2010

Support théorique:

Inéquation au paramètre réel, logarithmes naturels, signe de la fonction du second degré.

Enoncé:

Trouver le paramètre réel m, tel que:

${(lnm)\cdot{x^2}-\sqrt{lnm}\cdot{x}+m-1}>{0},\;\forall{x}\in{\mathbb{R}}.$ {(lnm)\cdot{x^2}-\sqrt{lnm}\cdot{x}+m-1}>{0},\;\forall{x}\in{\mathbb{R}}.

Réponse:

m > 5/4.

Résolution:

Les conditions d'existence imposent: m [1,+oo).

Pour m = 1 on obtient 0 > 0, faux, donc m = 1 ne convient pas.

Pour m > 1, la fonction du second degré f: R - > R,

$f(x)=(lnm)\cdot{x^2}-\sqrt{lnm}\cdot{x}+m-1$ f(x)=(lnm)\cdot{x^2}-\sqrt{lnm}\cdot{x}+m-1

est strictement positive si et seulement si le discriminant de l'équation attachée à

celle-ci est négatif (puisque le coefficient de x², à savoir lnm, est positif, pour tout m > 1):

Δ < 0 < = > b² - 4ac < 0 < = > ... < = > (lnm)·(5 - 4m) < 0 < = > ... < = > m > 5/4.

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