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Date de la publication: : 21 Janvier, 2011

Support théorique:

Polynômes aux coefficients complexes, nombre imaginaire.

Enoncé:

Trouver les racines du polynôme f de C[X], f = X³ - 3iX² - 2iX - 6m,

où m est un paramètre réel, en sachant qu'il admet une racine imaginaire.

Réponse:

S = {3i, - 1 - i, 1 + i}.

Résolution:

Soit une racine imaginaire de la forme xo = ai, où a est un réel non-nul et i² = - 1.

Il en résulte:

a³i³ - 3ia²i² - 2iai - 6m = 0 < = > - a³i + 3ia² + 2a - 6m = 0.

Puisque le nombre complexe ainsi obtenu est nul, on en déduit un système de 2

équations, dont le inconnues sont a et m; on trouve m = 1 et a = 3 , donc xo = 3i, par

conséquent, on aura f = (X - 3i)·g, où g c'est polynôme du second degré etc.

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