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Date de la publication: : 19 Avril, 2010

ALGEBRE-19

Support théorique:

Les propriétés des déterminants, racines rationelles et complexes non-réelles d'une équation algébrique.

Enoncé:

Montrer que l'équation

$\begin{vmatrix}x&x&{-1}&2\\{-3}&2x&2&1\\1&{x-2}&x&{-3}\\{-x}&{-1}&3x&2\end{vmatrix}=0$ \begin{vmatrix}x&x&{-1}&2\\{-3}&2x&2&1\\1&{x-2}&x&{-3}\\{-x}&{-1}&3x&2\end{vmatrix}=0

admet une racine rationelle et deux complexes non-réelles.

Réponse:

$x_1=\frac{1}{2},\;x_{2,3}=\frac{-6\pm{2i\sqrt{5}}}{7}.$ x_1=\frac{1}{2},\;x_{2,3}=\frac{-6\pm{2i\sqrt{5}}}{7}.

Résolution:

On aditionne les colonnes 1, 2 et 3 et l'on obtient un facteur commun, qui conduit à

une racine rationelle.

Par la suite de cette "manoeuvre", on obtient un déterminant ayant le nombre 1 sur la

première colonne, on soustrait la première ligne des autres, ça donne des zéros, on

obtient un déterminant du 3-ième ordre égal à 0, après une équation du second degré

etc.

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