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»ALGEBRE LINEAIRE

Date de la publication: : 18 Avril, 2010

ALGEBRE-18

Support théorique:

Calculs sur des matrices carées, l'unité imaginaire, le binôme de Newton, sommes remarquables de combinaisons.

Enoncé:

Calculer $A^n,$ A^n,

où

$A=\begin{pmatrix}i&-i\\-i&i\end{pmatrix},$ A=\begin{pmatrix}i&-i\\-i&i\end{pmatrix},

i² = - 1 et n est un nombre naturel non-nul.

Réponse:

$A^n={{(2i)}^{n-1}}\cdot{A}.$ A^n={{(2i)}^{n-1}}\cdot{A}.

Résolution:

$A^n={i^n}\cdot{{\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}}^n}=$ A^n={i^n}\cdot{{\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}}^n}= ${i^n}\cdot{\Big[\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\Big]^n}=$ {i^n}\cdot{\Big[\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\Big]^n}= ${i^n}\cdot{(I_2-B)^n},\;ou\;B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.$ {i^n}\cdot{(I_2-B)^n},\;ou\;B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.

Puisque la matrice unité et la matrice B sont permutables, on peut utiliser la formule

du binôme Newton, et l'on obtient ainsi:

$A^n={i^n}\cdot{[I_2-C_n^1B+C_n^2B^2-C_n^3B^3+\cdots+(-1)^{2k}C_n^{2k}B^{2k}+\cdots+(-1)^nC_n^nB^n]}.$ A^n={i^n}\cdot{[I_2-C_n^1B+C_n^2B^2-C_n^3B^3+\cdots+(-1)^{2k}C_n^{2k}B^{2k}+\cdots+(-1)^nC_n^nB^n]}.

Ensuite, on montre facilement que

$B^{2k}=I_2\;si\;B^{2k-1}=B,\;\forall{k}\in{\mathbb{N^*}},$ B^{2k}=I_2\;si\;B^{2k-1}=B,\;\forall{k}\in{\mathbb{N^*}},

donc, après les calculs respectifs de routine, on arrive à:

$A^n={i^n}\cdot{\begin{pmatrix}(C_n^0+C_n^2+C_n^4+...)&-(C_n^1+C_n^3+C_n^5+...)\\-(C_n^1+C_n^3+C_n^5+...)&(C_n^0+C_n^2+C_n^4+...)\end{pmatrix}}=$ A^n={i^n}\cdot{\begin{pmatrix}(C_n^0+C_n^2+C_n^4+...)&-(C_n^1+C_n^3+C_n^5+...)\\-(C_n^1+C_n^3+C_n^5+...)&(C_n^0+C_n^2+C_n^4+...)\end{pmatrix}}= ${i^n}\cdot{\begin{pmatrix}{2^{n-1}}&{-2^{n-1}}\\{-2^{n-1}}&{2^{n-1}}\end{pmatrix}}=$ {i^n}\cdot{\begin{pmatrix}{2^{n-1}}&{-2^{n-1}}\\{-2^{n-1}}&{2^{n-1}}\end{pmatrix}}= $\cdots={(2i)^{n-1}}\cdot{A}.$ \cdots={(2i)^{n-1}}\cdot{A}.