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Date de la publication: : 22 Février, 2010

ALGEBRE-17

Support théorique:

Matrice carée et déterminant d'ordre n, le rang d'une matrice, mineur d'une matrice.

Enoncé:

On donne la matrice:

$A=\begin{pmatrix}1&2&3&\cdots&(n-1)&n\\(n+1)&(n+2)&(n+3)&\cdots&(2n-1)&2n\\(2n+1)&(2n+2)&(2n+3)&\cdots&(3n-1)&{3n}\\\cdots\\(n^2-2n+1)&(n^2-2n+2)&(n^2-2n+3)&\cdots&(n^2-n-1)&(n^2-n)\\(n^2-n+1)&(n^2-n+2)&(n^2-n+3)&\cdots&(n^2-1)&{n^2}\end{pmatrix},$ A=\begin{pmatrix}1&2&3&\cdots&(n-1)&n\\(n+1)&(n+2)&(n+3)&\cdots&(2n-1)&2n\\(2n+1)&(2n+2)&(2n+3)&\cdots&(3n-1)&{3n}\\\cdots\\(n^2-2n+1)&(n^2-2n+2)&(n^2-2n+3)&\cdots&(n^2-n-1)&(n^2-n)\\(n^2-n+1)&(n^2-n+2)&(n^2-n+3)&\cdots&(n^2-1)&{n^2}\end{pmatrix},

$ou\;{n}\ge{3}.$ ou\;{n}\ge{3}.

Calculer det(A) et après rang(A).

Réponse:

Det(A) = - n, rang(A) = 2.

Résolution:

On soustrait la première ligne de la seconde et la pénultième de la dernière et l'on

obtient deux lignes égales, donc le déterminant associé à la matrice est nul.

Pour le calcul du rang de la matrice A, on s'attaque au mineur formé par les

intersections des premières deux lignes avec les premières deux colonnes:

$D=\begin{vmatrix}1&2\\(n+1)&(n+2)\end{vmatrix}=...={-n}\ne{0},$ D=\begin{vmatrix}1&2\\(n+1)&(n+2)\end{vmatrix}=...={-n}\ne{0},

donc le rang de la matrice c'est 2, au moins.

On observe, ensuite, selon les propriétés des déterminants, que par la suite du

bordage de ce mineur, en utilisant toutes les lignes et les colonnes disponibles, tous

les mineurs d'ordre 3 sont nuls, donc rang(A) = 2.

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